Calculer : \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x} \]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Dérivation et étude de fonctions
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Solution par changement de variable
Au voisinage de $~\frac{\pi}{4}~$ les fonctions sinus,cosinus et tangentes sont strictement positives.
On transforme l'expression en utilisant la fonction tangente :
\[ \frac{\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x} = \frac{\ln(\tan x)}{\cos x (\tan x - 1)} \]En posant $u = \tan x - 1$ (où $u \to 0$ quand $x \to \pi/4$) :
\[ \frac{\ln(1 + u)}{u} \cdot \frac{1}{\cos x} \]Par produit des limites :
- $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$
- $\lim_{x \to \pi/4} \frac{1}{\cos x} = \sqrt{2}$
La limite recherchée est donc $\sqrt{2}$.