- Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$.
- On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par :
\[ g(x) = \begin{cases}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}&\quad \text{si}\quad x\neq a\\\\ 0 &\quad \text{si} \quad x=a\end{cases}\] Montrer que est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b] - En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g$ sur un intervalle approprié, montrer que :
\[ \exists c \in ]a, b[ \text{ tel que } f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Dérivation et étude de fonctions
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
1. Continuité et dérivabilité de $g$
La continuité de $~g(x)~$ en $~a$: Par hypothèse on a: \[\lim\limits_{x\to a^+}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}{\dfrac{f(x)-f(x)}{x-a}}=g'(a)=0\] Donc: \[\lim\limits_{x\to a^+}{g(x)}=0=g(a)\] Par conséquent g est continue à droite de $~a$.
D'autres parts: La fonction $g$ est dérivable sur $]a, b]$ puisque elle est le quotient de deux fonction dérivables sur le même intervalle.
2. Application de Rolle à la fonction $g$ sur $[a,b]$
On a:
$g(a) = 0\quad \text{ et}\quad g(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0~~$ (car $~~f(a)=f(b)$).
Par application du théorème de Rolle, il existe $~c \in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$.
3. Conclusion
Les rgles de dérivation nous permettent de calculer $~g'(x)~$:
\[g'(x)=\dfrac{f'(x)(x-a)-(f(x)-f(a))}{(x-a)^2}\]
Or: $~~g'(c)=0\iff f'(c)(c-a)-(f(c)-f(a))=0$
On en tire:
\[ f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}\]