Solution de l'exercice

1. • Décomposition de l'intégrale : \[ I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2}{e^x+1} \,dx + \int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1} \,dx \]
   • Utilisation du résultat de l'Exercice INT80 :
     Posons $f(x) = (x^4+x^2+1)^2$. La fonction $f$ est continue et paire sur $[-1; 1]$.
     D'après l'Exercice INT80, on en déduit directement : \[ \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2}{e^x+1} \,dx = \int_0^1 (x^4+x^2+1)^2 \,dx \]

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2. 2. Calcul de la valeur de $I$ :

   • En développant l'intégrande de la première intégrale : \[ (x^4+x^2+1)^2 = x^8 + 2x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1 \]
   • On intègre sur l'intervalle $[0; 1]$ : \[ \int_0^1 (x^8 + 2x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1) \,dx = \left[ \frac{x^9}{9} + \frac{2x^7}{7} + \frac{3x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = \frac{839}{315} \]
   • On calcule la seconde intégrale (de la forme $\frac{u'}{u}$) : \[ \int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x+1} \,dx = \left[ \ln(e^x+1) \right]_{-1}^1 = \ln(e+1) - \ln(e^{-1}+1) = 1 \]
   • Par conséquent : \[ I = \frac{839}{315} + 1 = \frac{1154}{315} \]