- Peut-on avoir $P(A\cap B)=0,1$
- Si $P(A\cap B)=0,4$ Que peut-on déduire?
- calculer $P(A\cap B)$ lorsque $A$ et $B$ sont indépendants.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que:
$$P(A=0.8)\qquad\mbox{et}\qquad P(B)=0,4$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Étude du cas $P(A\cap B)=0,1$
On utilise la relation fondamentale des probabilités :
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]En remplaçant par les valeurs supposées :
\[ P(A\cup B) = 0,8 + 0,4 - 0,1 = 1,1 \]Or, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$. Ce résultat est donc impossible.
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Déduction pour $P(A\cap B)=0,4$
On remarque ici que $P(A\cap B) = P(B) = 0,4$.
D'après la formule des probabilités totales appliquée à l'événement $B$ :
\[ P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap \overline{A}) \] \[ 0,4 = 0,4 + P(B\cap \overline{A}) \implies P(B\cap \overline{A}) = 0 \]L'événement $B\cap \overline{A}$ est de probabilité nulle (ou de mesure nulle). On en déduit que l'événement $B$ est presque sûrement inclus dans l'événement $A$.
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Calcul en cas d'indépendance
Par définition, si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités :
\[ P(A\cap B) = P(A) \times P(B) \] \[ P(A\cap B) = 0,8 \times 0,4 = 0,32 \]