- Le premier effectue trois tir réussis sur 5
- Le deuxième effectue 2 tirs réussis sur 3
- Le troisième effectue 3 tirs réussis sur 4
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Trois chasseur possèdent respectivement les performances suivantes:
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Définition des événements et probabilités de réussite
Notons les événements suivants pour les trois chasseurs :
- $C_1$ : "Le 1er chasseur touche la perdrix", avec $P(C_1) = \frac{3}{5}$
- $C_2$ : "Le 2ème chasseur touche la perdrix", avec $P(C_2) = \frac{2}{3}$
- $C_3$ : "Le 3ème chasseur touche la perdrix", avec $P(C_3) = \frac{3}{4}$
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Probabilités d'échec (Événements contraires)
La probabilité que chaque chasseur rate son tir est respectivement :
- $P(\overline{C_1}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
- $P(\overline{C_2}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
- $P(\overline{C_3}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
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Probabilité que la perdrix soit touchée
Soit $T$ l'événement : "La perdrix est touchée". Cela signifie qu'au moins un chasseur a réussi son tir.
L'événement contraire $\overline{T}$ correspond à : "Aucun chasseur ne touche la perdrix". Les tirs étant simultanés et indépendants, la probabilité de $\overline{T}$ est le produit des probabilités d'échec :
\[ P(\overline{T}) = P(\overline{C_1}) \times P(\overline{C_2}) \times P(\overline{C_3}) \] \[ P(\overline{T}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \]On en déduit la probabilité que la perdrix soit touchée :
\[ P(T) = 1 - P(\overline{T}) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30} \]