Astuce:
Pour toute fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$, la dérivée s'obtient directement par le calcul du déterminant :
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}{(cx + d)^2} \\
&= \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}
\end{align*}
- Avantage : Ăvite les erreurs de signe frĂ©quentes avec la formule $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.
- Variations : Le signe de $f'$ est celui du déterminant $ad - bc$.
Exemple : Pour $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}$
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{(x + 1)^2} = \frac{3 - (-1)}{(x + 1)^2} = \frac{4}{(x + 1)^2}
\end{align*}
Soit : la fonction $f$ est strictement croissante sur $]1, +\infty[$.
- Démonstration par récurrence :
Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.
- Initialisation : $u_0 = 3$, on a bien $3 > 1$.
- Hérédité : Supposons que $u_n > 1$. Comme $f$ est croissante sur $I$ :
\begin{align*}
u_n > 1 \implies f(u_n) > f(1)=1
\end{align*}
Donc: $~u_{n+1} > 1$.
Soit : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.
-
- Nature de la suite $(v_n)$ :
Exprimons $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{1}{\frac{3u_n - 1}{u_n + 1} - 1} \\
&= \frac{u_n + 1}{2u_n - 2} = \frac{(u_n - 1) + 2}{2(u_n - 1)} \\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{u_n - 1} = \frac{1}{2} + v_n
\end{align*}
Soit : $v_n$ est arithmétique de raison $\frac{1}{2}$ et $v_0 = \frac{1}{2}$.
- Expressions en fonction de $n$ :
\begin{align*}
v_n &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}n = \frac{n+1}{2} \\
u_n &= 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{2}{n+1} = \frac{n+3}{n+1} \\
\end{align*}
Soit : $v_n = \frac{n+1}{2}$ et $u_n = \frac{n+3}{n+1}$
- Limite de la suite $(u_n)$ :
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty} u_n &= \lim_{n \to +\infty} \frac{n+3}{n+1} = 1 \\
\end{align*}
Soit : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$