Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \]
- Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
- En déduire qu'elle est convergente.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \]
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Monotonie de la suite $(v_n)$ :
Exprimons la différence $(n+1)(v_{n+1} - v_n)$ : \begin{align*} (n+1)v_{n+1} - (n+1)v_n &= \sum_{k=1}^{n+1} u_k - (n+1)v_n\\\\ (n+1)v_{n+1} - (n+1)v_n &= nv_n + u_{n+1} - (n+1)v_n\\\\ (n+1)v_{n+1} - (n+1)v_n &= u_{n+1} - v_n\\ \end{align*} Comme $(u_n)$ est croissante, on a $u_1 \leq u_2 \leq \dots \leq u_n \leq u_{n+1}$.
Il en résulte que $v_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_k \leq u_n \leq u_{n+1}$.
D'oĂč $u_{n+1} - v_n \geq 0$.
Soit : la suite $(v_n)$ est croissante. - Convergence de la suite $(v_n)$ :
Puisque $(u_n)$ est majorée par un réel $M$, on a pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \leq \frac{n \cdot M}{n} = M \] La suite $(v_n)$ est croissante et majorée.
Soit : la suite $(v_n)$ est convergente.