exercice Su23 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \] où $a$ et $b$ sont deux réels fixés ($b \neq 0$). On considère l'équation caractéristique associée $(E) : r^2 - ar - b = 0$ de discriminant $\Delta = a^2 + 4b$.

Cas $\Delta > 0$ : Racines réelles distinctes
On note $r_1$ et $r_2$ les deux racines de $(E)$.
1. Montrer que pour tous réels $\lambda$ et $\mu$, la suite définie par $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ vérifie la relation de récurrence.
2. Application :
  Déterminer $u_n$ pour $u_0 = 2$, $u_1 = 5$ et $$u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$$.
Cas $\Delta = 0$ : Racine réelle double
On note $r_0$ la racine double de $(E)$.
1. Montrer que la suite de terme général $v_n = n r_0^n$ vérifie également la relation de récurrence.
2. En déduire que le terme général est de la forme $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$.
Cas $\Delta < 0$ : Racines complexes conjuguées L'équation $(E)$ admet deux racines complexes $r_1 = \rho e^{i\theta}$ et $r_2 = \rho e^{-i\theta}$ avec $\rho > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$.
1. Montrer que toute suite de la forme $u_n = \rho^n (A \cos(n\theta) + B \sin(n\theta))$ avec $(A, B) \in \mathbb{R}^2$ vérifie la relation de récurrence.
2. Application :
  Déterminer l'expression de la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 1$ et $$u_{n+2} = u_{n+1} - u_n$$

Cas $\Delta > 0$ : Racines réelles distinctes
1. Vérification de la relation :
  Soit $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$. Comme $r_1$ et $r_2$ sont racines de $r^2 - ar - b = 0$, on a $r_i^2 = ar_i + b$. \begin{align*} au_{n+1} + bu_n &= a(\lambda r_1^{n+1} + \mu r_2^{n+1}) + b(\lambda r_1^n + \mu r_2^n) \\ &= \lambda r_1^n(ar_1 + b) + \mu r_2^n(ar_2 + b) \\ &= \lambda r_1^n(r_1^2) + \mu r_2^n(r_2^2) \\ &= \lambda r_1^{n+2} + \mu r_2^{n+2} = u_{n+2} \end{align*} La suite vérifie alors la relation de récurrence.
2. Application :
  L'équation caractéristique est $r^2 - 5r + 6 = 0$. On trouve $r_1 = 2$ et $r_2 = 3$.
  En utilisant $u_0=2$ et $u_1=5$ : \begin{align*} \begin{cases} \lambda + \mu = 2 \\ 2\lambda + 3\mu = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} \lambda = 1 \\ \mu = 1 \end{cases} \end{align*} Soit : $u_n = 2^n + 3^n$
Cas $\Delta = 0$ : Racine réelle double
1. Vérification pour $v_n = nr_0^n$ :
  Ici $a = 2r_0$ et $b = -r_0^2$. \begin{align*} av_{n+1} + bv_n &= 2r_0(n+1)r_0^{n+1} - r_0^2(nr_0^n) \\ &= 2(n+1)r_0^{n+2} - nr_0^{n+2} \\ &= (n+2)r_0^{n+2} = v_{n+2} \end{align*} Donc, la suite $v_n$, vérifie la relation de récurrence.
2. Forme générale :
  Par linéarité, toute suite de la forme $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$ est solution.
  Soit : $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$
  
  Note théorique :
  - Linéarité : L'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Si $(r_0^n)$ et $(n r_0^n)$ sont solutions, alors toute combinaison $u_n = \lambda r_0^n + \mu n r_0^n$ l'est aussi.
  - Dimension : L'espace des solutions est de dimension 2.
    Les deux suites citées étant linéairement indépendantes, elles constituent une base.
  Soit : $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$ est la forme générale exhaustive.
Cas $\Delta < 0$ : Racines complexes conjuguées
1. Forme trigonométrique :
  En posant $r_1 = \rho e^{i\theta}$, les solutions complexes sont des combinaisons de $(\rho e^{i\theta})^n$ et $(\rho e^{-i\theta})^n$.
  En utilisant les formules d'Euler, on obtient la forme réelle :
  Soit : $u_n = \rho^n (A \cos(n\theta) + B \sin(n\theta))$
2. Application :
  Pour $u_{n+2} = u_{n+1} - u_n$, l'équation est $r^2 - r + 1 = 0$.
  Les racines sont $e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$, donc $\rho = 1$ et $\theta = \frac{\pi}{3}$. \begin{align*} u_n = A \cos\left(n\frac{\pi}{3}\right) + B \sin\left(n\frac{\pi}{3}\right) \end{align*} Avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$, on trouve $A=1$ et $B=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
  Soit : $u_n = \cos\left(n\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\left(n\frac{\pi}{3}\right)$

Énoncé de l'exercice :

Note théorique :

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