- VĂ©rifer que: $~~(\forall n\in\Bbb N), ~~|u_n|<\frac{1}{\sqrt n}$
- En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par:
$$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Majoration de la valeur absolue :
- On sait que pour tout réel $x$, $|\cos(x)| \leq 1$. En particulier, $|\cos(3n)| \leq 1$.
- Comme $\sqrt{n} > 0$, on a $|u_n| = \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
- Calcul de la limite :
- L'inégalité précédente implique : $-\frac{1}{\sqrt{n}} \leq u_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$.
- Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$, d'aprÚs le théorÚme d'encadrement, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.