Soit: \[ u_n = (-1)^n (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}), n \in \mathbb{N} \] La série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ est-elle convergente ? est-elle absolument convergente?
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
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ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Ătude de la convergence (CritĂšre des sĂ©ries alternĂ©es) :
- La série est de la forme $\sum (-1)^n v_n$ avec $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
- Pour étudier le comportement asymptotique et la monotonie de $ (v_n) $, on multiplie par l'expression conjuguée : \[ v_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \]
- La fonction $x \longmapsto \sqrt{x}$ Ă©tant strictement croissante sur $ \mathbb{R}^+ $, la suite $(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$ est strictement croissante.
- Par passage à l'inverse, la suite $(v_n)$ est décroissante.
- De plus, $ \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = +\infty $, ce qui implique immédiatement que $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.
- La suite $(v_n)$ est positive, décroissante et tend vers 0. D'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, la série $\sum u_n$ converge.
- Ătude de la convergence absolue :
- On étudie la série de terme général $|u_n| = v_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.
- Lorsque $ n \to +\infty $, on a l'Ă©quivalent : \[ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \sim 2\sqrt{n} \]
- Par passage au quotient, on obtient : \[ |u_n| \sim \frac{1}{2n^{\frac{1}{2}}} \]
- On reconnaßt (à un facteur multiplicatif prÚs) le terme général d'une série de Riemann avec $\alpha = \frac{1}{2}$.
- Puisque $ \alpha \le 1 $, la série de Riemann diverge. Par le théorÚme d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $\sum |u_n|$ diverge.
- Conclusion : La série $\sum u_n$ n'est pas absolument convergente.