Soit $ f \in \mathcal{C}^3([-1, 1], \mathbb{R}) $. et soit: \[ u_n = n \left( f\left(\frac{1}{n}\right) - f\left(-\frac{1}{n}\right) \right) - 2f'(0) : ~~n \in \mathbb{N}^* \] Déterminer la nature de la série $~~ \sum_{n \ge 1} u_n $.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
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ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Développement limité de $ f $ :
Puisque $ f \in \mathcal{C}^3([-1, 1], \mathbb{R}) $, la formule de Taylor-Young garantit l'existence d'un développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0.
Pour $ x $ proche de 0, on a : \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \frac{f'''(0)}{6}x^3 + o(x^3) \] \[ f(-x) = f(0) - f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 - \frac{f'''(0)}{6}x^3 + o(x^3) \] - Expression asymptotique de $ u_n $ :
Par soustraction, les termes de degrés pairs s'annulent : \[ f(x) - f(-x) = 2f'(0)x + \frac{f'''(0)}{3}x^3 + o(x^3) \]
On pose $ x = \frac{1}{n} $, qui tend vers 0 lorsque $ n \to +\infty $ : \[ f\left(\frac{1}{n}\right) - f\left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2f'(0)}{n} + \frac{f'''(0)}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
En multipliant par $ n $ et en retranchant $ 2f'(0) $, on obtient un développement asymptotique du terme général $ u_n $ : \[ u_n = n \left( \frac{2f'(0)}{n} + \frac{f'''(0)}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) - 2f'(0) \] \[ u_n = \frac{f'''(0)}{3n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \] - Conclusion sur la nature de la série :
De ce développement, on déduit la relation de domination asymptotique : \[ u_n = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
Autrement dit, il existe une constante $ K > 0 $ telle que pour $ n $ assez grand, $ |u_n| \le \frac{K}{n^2} $.
Puisque la série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge ($ \alpha = 2 > 1 $), le théorÚme de comparaison assure que la série $ \sum |u_n| $ converge.
La série $ \sum u_n $ est absolument convergente, elle est donc convergente.