Exercice SSN 44 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Développement asymptotique à l'ordre 3 :
- On part de l'expression exacte à l'intérieur du logarithme : \[ \frac{\sqrt{n} + (-1)^n}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{1 - \frac{1}{n+1}} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \]
- On effectue un développement limité à la précision $ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) $ : \[ \sqrt{1 - \frac{1}{n+1}} = 1 - \frac{1}{2(n+1)} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right) \]
- L'argument du logarithme s'écrit donc $ 1 + h_n $ avec : \[ h_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{2(n+1)} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \]
- On applique le développement $ \ln(1 + h_n) = h_n - \frac{h_n^2}{2} + \mathcal{O}(h_n^3) $. Il faut calculer $ h_n^2 $ en conservant la même précision : \[ h_n^2 = \left( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \right)^2 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) = \frac{1}{n+1} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \]
- On réinjecte ces éléments dans le logarithme : \[ u_n = \left( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{2(n+1)} \right) - \frac{1}{2}\left( \frac{1}{n+1} \right) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \] \[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{n+1} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \]

Nature de la série :
- On étudie séparément les trois termes de cette somme :
  - $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} $ converge (d'après le critère spécial des séries alternées).
  - $ \sum \frac{-1}{n+1} $ diverge (série harmonique de signe constant).
  - $ \sum \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) $ converge absolument (par comparaison à une série de Riemann avec $ \alpha = \frac{3}{2} > 1 $).
- Conclusion : La série $ \sum u_n $ s'écrit comme la somme de deux séries convergentes et d'une série divergente. Par conséquent, elle diverge.