Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle telle que la série $ ~~\sum_{n \ge 0} u_n^2~~$ converge. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n u_{n+1} $ converge.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Majoration en valeur absolue :
Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, on utilise l'inĂ©galitĂ© fondamentale liant le produit et la somme des carrĂ©s : \[ |u_n u_{n+1}| \le \frac{1}{2} \left( u_n^2 + u_{n+1}^2 \right) \] - Ătude de la sĂ©rie majorante :
Par hypothÚse de l'énoncé, la série $ \sum u_n^2 $ converge.
La sĂ©rie de terme gĂ©nĂ©ral $ u_{n+1}^2 $ est la mĂȘme sĂ©rie dĂ©calĂ©e d'un indice (amputĂ©e de son premier terme $ u_0^2 $). Elle est donc de mĂȘme nature et converge.
L'espace des séries convergentes étant un espace vectoriel, toute combinaison linéaire de séries convergentes l'est aussi. La série $ \sum \frac{1}{2} \left( u_n^2 + u_{n+1}^2 \right) $ converge. - Conclusion par absolue convergence :
On dispose de l'inégalité $ 0 \le |u_n u_{n+1}| \le \frac{1}{2} \left( u_n^2 + u_{n+1}^2 \right) $.
Puisqu'il s'agit d'une comparaison de séries à termes positifs, le théorÚme de comparaison assure que la série $ \sum |u_n u_{n+1}| $ converge.
La série $ \sum u_n u_{n+1} $ est donc absolument convergente, ce qui implique rigoureusement qu'elle est convergente.