On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par : \[u_n=\begin{cases} \frac{1}{n} \quad &\text{ si $~n~$ est une puissance entière de 2}\\\\ 0 \quad &\text{ sinon}\end{cases}\] Préciser la nature de la série $ \sum u_n $.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Posons: \[ m(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor \] Il est clair que: $\lim\limits_{n\to \infty}{m(n)}=+\infty$
- la somme partielle $s_n=\sum_1^n {u_k}$ s'écrit donc: \[ s_n = \sum_{k=0}^{m(n)} 2^{-k} \]
- On calcule ensuite la somme partielle de cette série géométrique de raison $ q = \frac{1}{2} $ : \[ s_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{m(n)+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{m(n)+1} \right) \]
- Comme , $ \lim_{n \to +\infty} m(n) = +\infty $. Alors : \[ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{m(n)+1} = 0 \]
- En passant à la limite dans l'expression de $ s_n $, on obtient directement : \[ \lim_{n \to +\infty} s_n = 2 \cdot (1 - 0) = 2 \]
- la série converge et sa somme vaut $ 2 $.