- Soit $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[, \mathbb{R}^{+*}) $ telle que $ \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty $.
- Calculer $ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} $. Indication : on pourra utiliser l'égalité des accroissements finis avec $ \ln(f) $ entre $ n $ et $ n+1 $.
- Préciser la nature de la série $ \sum_{n \ge 1} f(n) $.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Ătude de la fonction et de la sĂ©rie associĂ©e :
- Calcul de la limite :
- On considÚre la fonction $ g(x) = \ln(f(x)) $. Puisque $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[) $ et $ f(x) > 0 $, $ g $ est bien définie et de classe $ \mathcal{C}^1 $.
- La dérivée de cette fonction est $ g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} $.
- En appliquant le théorÚme des accroissements finis (TAF) à la fonction $ g $ sur l'intervalle $ [n, n+1] $, il existe un réel $ c_n \in ]n, n+1[ $ tel que : \[ g(n+1) - g(n) = g'(c_n) (n+1 - n) \]
- Ce qui se réécrit en utilisant les propriétés du logarithme : \[ \ln\left(\frac{f(n+1)}{f(n)}\right) = \frac{f'(c_n)}{f(c_n)} \]
- Puisque $ n < c_n < n+1 $, par le théorÚme des gendarmes, $ c_n \to +\infty $ lorsque $ n \to +\infty $.
- Par hypothÚse de l'énoncé, on a donc : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln\left(\frac{f(n+1)}{f(n)}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty \]
- En passant à l'exponentielle, on obtient directement la limite cherchée : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} = 0 \]
- Nature de la série :
- La suite $ (f(n))_{n \ge 1} $ est à termes strictement positifs d'aprÚs l'énoncé.
- D'aprÚs la question précédente, la limite du quotient $ \frac{f(n+1)}{f(n)} $ est égale à $ 0 $.
- Puisque $ 0 < 1 $, la rĂšgle de d'Alembert s'applique de maniĂšre stricte.
- On conclut que la série $ \sum_{n \ge 1} f(n) $ converge.
- Calcul de la limite :