Correction de l'exercice

1. Encadrement et équivalent de $\ln(n!)$ :
   • La fonction $ x \longmapsto \ln x $ est croissante sur $ ]0, +\infty[ $.
   • Sur l'intervalle $ [k-1, k] $, on a $ \ln x \le \ln k $. En intégrant sur cet intervalle de longueur 1 : \[ \int_{k-1}^{k} \ln x \, dx \le \ln k \]
   • Sur l'intervalle $ [k, k+1] $, on a $ \ln k \le \ln x $. En intégrant : \[ \ln k \le \int_{k}^{k+1} \ln x \, dx \]
   • On somme ces inégalités pour $ k $ allant de $ 2 $ à $ n $. La relation de Chasles donne : \[ \int_{1}^{n} \ln x \, dx \le \sum_{k=2}^{n} \ln k \le \int_{2}^{n+1} \ln x \, dx \]
   • Puisque $ \sum_{k=2}^{n} \ln k = \ln(n!) $ et que $ \int \ln x \, dx = [x \ln x - x] $, on obtient : \[ n \ln n - n + 1 \le \ln(n!) \le (n+1)\ln(n+1) - (n+1) - (2\ln 2 - 2) \]
   • En divisant tous les membres par $ n \ln n $ et en passant à la limite quand $ n \to +\infty $, les termes de gauche et de droite tendent vers $ 1 $.
   • D'après le théorème des gendarmes, on en déduit l'équivalent classique : \[ \ln(n!) \sim n \ln n \]

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2. Nature de la série $\sum u_n$ :
   • Le numérateur est la $n$-ième somme partielle de la série harmonique, dont l'équivalent usuel est : \[ 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \sim \ln n \]
   • D'après la question précédente, le dénominateur vérifie : \[ \ln(n!) \sim n \ln n \]
   • Les suites étant à termes strictement positifs pour $ n \ge 2 $, on procède au quotient des équivalents : \[ u_n \sim \frac{\ln n}{n \ln n} = \frac{1}{n} \]
   • On reconnaît le terme général d'une série de Riemann avec $ \alpha = 1 $ (série harmonique).
   • Par comparaison, la série $ \sum u_n $ diverge.