- Soit $ (u_n) $ une suite Ă termes positifs.
- Prouver que les sĂ©ries de termes gĂ©nĂ©raux $ u_n $ et $ \frac{u_n}{1 + u_n} $ sont de mĂȘme nature.
- Prouver que les sĂ©ries de termes gĂ©nĂ©raux $ u_n $ et $ \ln(1 + u_n) $ sont de mĂȘme nature.
- Prouver que $ \sum u_n $ diverge si et seulement si \[ \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{n} (1 + u_k) = +\infty \]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Ătude des sĂ©ries liĂ©es Ă une suite $ (u_n) $ Ă termes positifs :
- Nature de $ \sum \frac{u_n}{1 + u_n} $ :
- On pose $ v_n = \frac{u_n}{1 + u_n} $. Les deux séries sont à termes positifs.
- Si $ \sum u_n $ converge, alors $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. On a donc l'équivalence $ v_n \sim u_n $. Par le théorÚme d'équivalence des séries à termes positifs, $ \sum v_n $ converge.
- Réciproquement, si $ \sum v_n $ converge, alors $ \lim_{n \to +\infty} v_n = 0 $. Comme $ u_n = \frac{v_n}{1 - v_n} $, on en déduit que $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. On a de nouveau $ u_n \sim v_n $, donc $ \sum u_n $ converge.
- Les deux sĂ©ries sont donc de mĂȘme nature.
- Nature de $ \sum \ln(1 + u_n) $ :
- La suite $ (u_n) $ est Ă termes positifs, donc $ \ln(1 + u_n) \ge 0 $.
- Si $ \sum u_n $ converge, alors $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. L'Ă©quivalent usuel donne $ \ln(1 + u_n) \sim u_n $. Les deux sĂ©ries Ă termes positifs ont donc mĂȘme nature, ainsi $ \sum \ln(1 + u_n) $ converge.
- Réciproquement, si $ \sum \ln(1 + u_n) $ converge, alors son terme général tend vers 0, ce qui implique $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. L'équivalent $ \ln(1 + u_n) \sim u_n $ est toujours valable, prouvant la convergence de $ \sum u_n $.
- Les deux sĂ©ries sont donc de mĂȘme nature.
- Lien avec le produit infini :
- On considĂšre le produit partiel $ P_n = \prod_{k=0}^{n} (1 + u_k) $. En passant au logarithme naturel : \[ \ln(P_n) = \sum_{k=0}^{n} \ln(1 + u_k) \]
- La suite $ (\ln(P_n)) $ est la suite des sommes partielles de la série $ \sum \ln(1 + u_n) $. Comme cette série est à termes positifs, la suite de ses sommes partielles est croissante.
- D'aprÚs la question précédente, $ \sum u_n $ diverge si et seulement si $ \sum \ln(1 + u_n) $ diverge.
- Puisque la série est à termes positifs, sa divergence équivaut à dire que la suite de ses sommes partielles tend vers $ +\infty $ : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(P_n) = +\infty \]
- Par composition avec la fonction exponentielle qui tend vers $ +\infty $ en $ +\infty $, cela Ă©quivaut strictement Ă : \[ \lim_{n \to +\infty} P_n = +\infty \]
- Nature de $ \sum \frac{u_n}{1 + u_n} $ :