Exercice SSN 27

Exercice Publié par admin le 30 avril 2026
Bac Sciences MathĂ©matiques & LycĂ©e Suites et sĂ©ries numĂ©riques ÉnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

ÉnoncĂ© de l'exercice :

    Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite de réels telle que les séries $ \sum_{n \ge 0} u_{2n} $ et $ \sum_{n \ge 0} u_{2n+1} $ convergent.

  1. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ converge et que \[ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n} + \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n+1} \]
  2. Application : Existence et calcul de \[ \sum_{n=0}^{+\infty} (3 + (-1)^n)^{-n} \]
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
  1. Démonstration du théorÚme de regroupement :
    • On note $ S_N = \sum_{k=0}^N u_k $ la suite des sommes partielles de la sĂ©rie.
    • On pose $ A_N = \sum_{k=0}^N u_{2k} $ et $ B_N = \sum_{k=0}^N u_{2k+1} $. Par hypothĂšse, ces suites convergent vers des limites respectives $ L_A $ et $ L_B $.
    • Pour les indices impairs, on a : $ S_{2N+1} = \sum_{k=0}^{2N+1} u_k = A_N + B_N $. En passant Ă  la limite : $ \lim_{N \to +\infty} S_{2N+1} = L_A + L_B $.
    • Pour les indices pairs, on a : $ S_{2N} = S_{2N+1} - u_{2N+1} $. Puisque la sĂ©rie $ \sum u_{2n+1} $ converge, son terme gĂ©nĂ©ral tend nĂ©cessairement vers $ 0 $, donc $ \lim_{N \to +\infty} u_{2N+1} = 0 $.
    • On en dĂ©duit que : $ \lim_{N \to +\infty} S_{2N} = L_A + L_B - 0 = L_A + L_B $.
    • Les suites extraites $ (S_{2N}) $ et $ (S_{2N+1}) $ convergent vers la mĂȘme limite. La suite $ (S_N) $ converge donc, ce qui prouve que la sĂ©rie $ \sum u_n $ converge, et l'on a bien : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n} + \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n+1} \]
  2. Application (Existence et calcul) :
    • Étude de la sĂ©rie des termes pairs ($ n = 2k $) : \[ u_{2k} = (3 + 1)^{-2k} = 4^{-2k} = \left(\frac{1}{16}\right)^k \] C'est le terme gĂ©nĂ©ral d'une sĂ©rie gĂ©omĂ©trique de raison $ q = \frac{1}{16} \in ]-1, 1[ $. Elle converge et sa somme est : \[ \sum_{k=0}^{+\infty} u_{2k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{16}{15} \]
    • Étude de la sĂ©rie des termes impairs ($ n = 2k+1 $) : \[ u_{2k+1} = (3 - 1)^{-(2k+1)} = 2^{-(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^k \] C'est le terme gĂ©nĂ©ral d'une sĂ©rie gĂ©omĂ©trique de raison $ q = \frac{1}{4} \in ]-1, 1[ $. Elle converge et sa somme est : \[ \sum_{k=0}^{+\infty} u_{2k+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \]
    • Conclusion : D'aprĂšs la question prĂ©cĂ©dente, puisque les sĂ©ries des termes pairs et impairs convergent, la sĂ©rie $ \sum u_n $ converge et sa somme est : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \frac{16}{15} + \frac{2}{3} = \frac{16}{15} + \frac{10}{15} = \frac{26}{15} \]
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