Exercice SSN 26 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Étude de la nature des séries selon les paramètres $ a > 0 $ et $ \alpha \in \mathbb{R} $ :
1. $ \frac{1 + a^n}{n^2} $
  - Si $ 0 < a \le 1 $, on a $ \frac{1+a^n}{n^2} = O\left(\frac{1}{n^2}\right) $. Converge.
  - Si $ a > 1 $, le terme général est équivalent à $ \frac{a^n}{n^2} $ qui tend vers $ +\infty $. Diverge grossièrement.
2. $ n a^{\sqrt{n}} $
  - Si $ a \ge 1 $, le terme général tend vers $ +\infty $. Diverge grossièrement.
  - Si $ 0 < a < 1 $, par les théorèmes de croissances comparées, $\lim_{n \to +\infty} n^3 a^{\sqrt{n}} = 0$, donc le terme est $ o\left(\frac{1}{n^2}\right) $. Converge.
3. $ a^n (\ln(n+1) - \ln n) $
  - On a l'équivalent : $ a^n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sim \frac{a^n}{n} $.
  - Si $ 0 < a < 1 $, converge (série géométrique ou d'Alembert).
  - Si $ a = 1 $, équivalent à $ \frac{1}{n} $. Diverge (série harmonique).
  - Si $ a > 1 $, le terme général tend vers $ +\infty $. Diverge grossièrement.
4. $ \frac{\text{sh} n}{a^n} $
  - On a l'équivalent : $ \frac{\text{sh} n}{a^n} \sim \frac{e^n}{2a^n} = \frac{1}{2} \left(\frac{e}{a}\right)^n $. C'est une série géométrique.
  - Si $ a > e $, la raison est strictement inférieure à $1$. Converge.
  - Si $ a \le e $, la raison est supérieure ou égale à $1$. Diverge.
5. $ \frac{a^n \ln n}{n^{\alpha}} $
  - Si $ 0 < a < 1 $, l'exponentielle l'emporte, le terme est $ o\left(\frac{1}{n^2}\right) $. Converge (pour tout $\alpha$).
  - Si $ a > 1 $, l'exponentielle l'emporte, le terme tend vers $ +\infty $. Diverge (pour tout $\alpha$).
  - Si $ a = 1 $, on obtient une série de Bertrand $ \frac{\ln n}{n^\alpha} $. Converge si et seulement si $ \alpha > 1 $.
6. $ a^n \frac{n!}{n^n} $
  - Par la règle de d'Alembert, le rapport $ \frac{u_{n+1}}{u_n} = a \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} $ tend vers $ \frac{a}{e} $.
  - Si $ a < e $, converge.
  - Si $ a > e $, diverge.
  - Si $ a = e $, la formule de Stirling donne $ u_n \sim \sqrt{2\pi n} \to +\infty $. Diverge grossièrement.
7. $ (\text{ch} n)^{\alpha} - (\text{sh} n)^{\alpha} $
  - On factorise par le terme dominant : $ \left(\frac{e^n}{2}\right)^\alpha \left[ (1+e^{-2n})^\alpha - (1-e^{-2n})^\alpha \right] $.
  - Pour $ \alpha = 0 $, le terme général est nul. Converge.
  - Pour $ \alpha \neq 0 $, par développement limité en $ e^{-2n} \to 0 $, le crochet équivaut à $ 2\alpha e^{-2n} $.
  - Le terme général est donc équivalent à $ \frac{2\alpha}{2^\alpha} e^{(\alpha-2)n} $. C'est une série géométrique qui converge si et seulement si $ \alpha < 2 $.
8. $ \arctan\left(1 + \frac{1}{n^a}\right) - \frac{\pi}{4} $
  - On étudie le terme général $ u_n = \arctan\left(1 + \frac{1}{n^a}\right) - \frac{\pi}{4} $. Puisque l'énoncé précise que $ a > 0 $, on a bien $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^a} = 0 $.
  - On effectue un développement limité de la fonction $ f(x) = \arctan(1+x) $ au voisinage de $ 0 $. Sachant que sa dérivée est $ f'(x) = \frac{1}{1+(1+x)^2} $, on a $ f'(0) = \frac{1}{2} $.
  - Le développement limité à l'ordre 1 s'écrit donc : \[ \arctan(1+x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} + o(x) \]
  - En posant $ x = \frac{1}{n^a} $, on obtient directement l'équivalent du terme général : \[ u_n \sim \frac{1}{2n^a} \]
  - Cet équivalent est proportionnel au terme général d'une série de Riemann. Par le théorème de comparaison, la série converge si et seulement si $ a > 1 $.
9. $ \alpha \sin\left(\frac{1}{n}\right) + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) $
  - On effectue un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de $0$ :
    $ \frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) + \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{\alpha+1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) $.
  - Si $ \alpha \neq -1 $, le terme général est équivalent à $ \frac{\alpha+1}{n} $. Diverge.
  - Si $ \alpha = -1 $, le terme en $ \frac{1}{n} $ s'annule. L'équivalent est $ -\frac{1}{2n^2} $ (série de Riemann $ \alpha = 2 $). Converge.

Énoncé de l'exercice :

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