Dans l'ensemble $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$, on considÚre les matrices $A$ et $M$ vérifiant : \[ A^{3}=-A \qquad ; \qquad \text{rg}(A)=2 \qquad \text{et} \qquad M=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-1&0\end{pmatrix} \]
  1. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$. Déterminer alors la matrice réduite ; que peut-on dire des matrices de passage à la forme diagonale ?
  2. Calculer $M^{3}$.
  3. En déduire que $A$ est semblable à $M$ dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$.