- Tracer le diagramme de venn.
- On tire au hasard un nombre de l'ensemble $A\cup B\cup C$. quelle est la probabilité qu'il soit dans $A$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
On donne les ensembles $(A,35),(B,40),(C,45),(A\cap B,13),(A\cap C,12),(B\cap C,14),$
$(A\cap B\cap C,5)~$ où par exemple $~(A,35)$ signifie card$(A)=35$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Diagramme de Venn
Pour construire le diagramme, on affecte les cardinaux en partant de l'intersection des trois ensembles vers l'extérieur :
- Intersection centrale : $\text{Card}(A \cap B \cap C) = 5$
- Éléments appartenant exclusivement à $A$ et $B$ : $13 - 5 = 8$
- Éléments appartenant exclusivement à $A$ et $C$ : $12 - 5 = 7$
- Éléments appartenant exclusivement à $B$ et $C$ : $14 - 5 = 9$
- Éléments appartenant exclusivement à $A$ : $35 - (8 + 7 + 5) = 15$
- Éléments appartenant exclusivement à $B$ : $40 - (8 + 9 + 5) = 18$
- Éléments appartenant exclusivement à $C$ : $45 - (7 + 9 + 5) = 24$
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Calcul de la probabilité
Soit l'univers $\Omega = A \cup B \cup C$. Calculons son cardinal à l'aide de la formule du crible de Poincaré :
\[ \text{Card}(A \cup B \cup C) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) + \text{Card}(C) - \text{Card}(A \cap B) - \text{Card}(A \cap C) - \text{Card}(B \cap C) + \text{Card}(A \cap B \cap C) \] \[ \text{Card}(\Omega) = 35 + 40 + 45 - 13 - 12 - 14 + 5 \] \[ \text{Card}(\Omega) = 120 - 39 + 5 = 86 \]
L'expérience consiste à tirer au hasard un nombre de cet univers. La probabilité qu'il appartienne à l'ensemble $A$ est :
\[ P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{35}{86} \]