Exercice P57 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2013

Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernable au toucher.
On tire au hasard et successivement avec remise 4 boules.
On considère la variable aléatoire $X$ qui prend le nombre de boules noires tirées de l'urne.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
2. Calculer $E(X)$ l’espérance mathématiques de la variable $X$.
On réalise l'expérience aléatoire suivante :
- Première phase: On tire une boule de l’urne puis on note sa couleur et on la remets à nouveau dans l'urne.
- Deuxième phase: On rajoute dans l’urne 5 boules de la même couleur que celles qu’on a tirées dans la première phase .
- Troisième phase : On tire successivement sans remise 3 boules de l'urne qui contient maintenant 12 boules.
On considère les évènements suivants :
- $N~$: "la boule tirée à l’étape 1 est noire"
- $R~$: "la boule tirée à l’étape 1 est rouge"
- $E~$: "toutes les boules tirées à l’étape 3 sont noires"
1. Montrer que: $~p(E\cap N)=\dfrac{12}{55}$
2. calculer: $~p(E)$
3. Calculer la probabilité de l'évènement $~R~$ sachant que $~E~$ est vérifié

1. Les tirages sont successifs et avec remise, la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=p(N)=\frac{4}{7}$.
  L'ensemble des valeurs possibles de $X$ est : \[ X(\Omega) = \{0, 1, 2, 3, 4\} \] La loi de probabilité est donnée par : \[ p(X=k) = C_4^k \left(\frac{4}{7}\right)^k \left(\frac{3}{7}\right)^{4-k} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \] \begin{align*} p(X=0) &= C_4^0 \left(\frac{4}{7}\right)^0 \left(\frac{3}{7}\right)^4 = \frac{81}{2401} \\ p(X=1) &= C_4^1 \left(\frac{4}{7}\right)^1 \left(\frac{3}{7}\right)^3 = \frac{432}{2401} \\ p(X=2) &= C_4^2 \left(\frac{4}{7}\right)^2 \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{864}{2401} \\ p(X=3) &= C_4^3 \left(\frac{4}{7}\right)^3 \left(\frac{3}{7}\right)^1 = \frac{768}{2401} \\ p(X=4) &= C_4^4 \left(\frac{4}{7}\right)^4 \left(\frac{3}{7}\right)^0 = \frac{256}{2401} \end{align*}
2. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est : \begin{align*} E(X) &= n \times p \\ &= 4 \times \frac{4}{7} \end{align*} Soit : \[ E(X) = \frac{16}{7} \]

1. On a: \[ p(N) = \frac{4}{7}\qquad ; \qquad p(R) = \frac{3}{7} \] Si l'événement $N$ est réalisé, l'urne contient alors $3$ boules rouges et $~4+5=9~$ boules noires (soit un total de $~12~$ boules).
  La probabilité de tirer $~3~$ boules noires successivement et sans remise sachant $~N~$ est : \[ p(E|N) = \frac{A_9^3}{A_{12}^3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{12 \times 11 \times 10} = \frac{21}{55} \] Par conséquent: \begin{align*} p(E \cap N) &= p(N) \times p(E|N) \\ &= \frac{4}{7} \times \frac{21}{55} \end{align*} Soit : \[ p(E \cap N) = \frac{12}{55} \]
2. Si l'événement $~R~$ est réalisé, l'urne contient alors $~3+5=8~$ boules rouges et $~4~$ boules noires.
  La probabilité de tirer $~3~$ boules noires successivement et sans remise sachant $~R~$ est : \[ p(E|R) = \frac{A_4^3}{A_{12}^3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{1320} = \frac{1}{55} \] \begin{align*} p(E \cap R) &= p(R) \times p(E|R) \\ &= \frac{3}{7} \times \frac{1}{55} \\ &= \frac{3}{385} \end{align*} D'après la formule des probabilités totales : \begin{align*} p(E) &= p(E \cap N) + p(E \cap R) \\ &= \frac{12}{55} + \frac{3}{385} \\ \end{align*} Ce qui implique : \[ p(E) = \frac{87}{385} \]
3. On cherche à calculer la probabilité conditionnelle de l'événement $R$ sachant $E$ : \begin{align*} p(R|E) &= \frac{p(E \cap R)}{p(E)} \\ &= \frac{\frac{3}{385}}{\frac{87}{385}} \\ &= \frac{3}{87} \end{align*} Soit : \[ p(R|E) = \frac{1}{29} \]

Énoncé de l'exercice :

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