Exercice P59 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2016

On a deux boites $U$ et $V$. La boite $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. La boite $V$, contient deux boules rouges et 4 boules bleues. On considère l'expérience l'épreuve suivante : « On tire au hasard une boule de la boite $U$, si elle est rouge on la range dans la boite $V$ puis on tire au hasard une boule de $V$. Si elle est de couleur bleue on la met de côté puis on tire au hasard une boule de la boite $V$ » . On considère les événements :

$~R_U~$ : « la boule tirée de U est rouge »
$~B_U~$ : « la boule tirée de U est bleue »
$~R_V~$ : « la boule tirée de V est rouge »
$~B_V~$ : « la boule tirée de V est bleue »

Calculer la probabilité de chacun des deux événements $R_U~$ et $~B_U$
1. Calculer la probabilité de l'événement $B_V$ sachant que l'événement $R_U$ est réalisé.
2. Calculer la probabilité de l'événement $B_V$ sachant que l'événement $B_U$ est réalisé.
3. Montrer que la probabilité de l’événement $B_V$ est: $~~\frac{13}{21}$
4. En déduire: $~~p(R_v)$

La boite $U$ contient au total $8$ boules ($4$ rouges et $4$ bleues). Le tirage est équiprobable. \begin{align*} p(R_U) &= \frac{4}{8} \\ p(B_U) &= \frac{4}{8} \end{align*} Soit : \[ p(R_U) = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad p(B_U) = \frac{1}{2} \]

1. Si l'événement $R_U$ est réalisé, la boule rouge tirée est rangée dans la boite $V$. La boite $V$ contient alors $3$ boules rouges et $4$ boules bleues (soit un total de $7$ boules).
  La probabilité de tirer une boule bleue de $V$ sachant que $R_U$ est réalisé est : \[ p(B_V|R_U) = \frac{4}{7} \]
2. Si l'événement $B_U$ est réalisé, la boule bleue tirée est mise de côté. Le contenu de la boite $V$ reste donc inchangé, avec $2$ boules rouges et $4$ boules bleues (soit un total de $6$ boules).
  La probabilité de tirer une boule bleue de $V$ sachant que $B_U$ est réalisé est : \[ p(B_V|B_U) = \frac{4}{6} \] Soit : \[ p(B_V|B_U) = \frac{2}{3} \]
3. D'après la formule des probabilités totales, on a : \begin{align*} p(B_V) &= p(R_U)p(B_V|R_U) + p(B_U)p(B_V|B_U) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \\ &= \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{6}{21} + \frac{7}{21} \end{align*} Ce qui implique : \[ p(B_V) = \frac{13}{21} \]
4. Les événements $R_V$ et $B_V$ forment une partition lors du tirage de la boule dans la boite $V$ (la boule tirée est soit rouge, soit bleue). Ils sont donc contraires : \begin{align*} p(R_V) &= 1 - p(B_V) \\ &= 1 - \frac{13}{21} \\ &= \frac{21 - 13}{21} \end{align*} Soit : \[ p(R_V) = \frac{8}{21} \]

Énoncé de l'exercice :

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