Exercice P56 : Énoncé & Corrigé Détaillé

1. L'urne contient $2$ boules rouges. Les tirages s'effectuent sans remise jusqu'à l'obtention de la première boule blanche. Le nombre maximum de tirages est donc $3$.
  L'ensemble des valeurs possibles de $X$ est : \[ X(\Omega) = \{1, 2, 3\} \]
2. On a: \[ p(X=1) = \frac{10}{12} \] Soit : \[ p(X=1) = \frac{5}{6} \]
3. On a: \[p(X=2) = \frac{2}{12} \times \frac{10}{11}\] Soit: \[p(X=2)=\frac{5}{33} \]
4. L'évènement (X=3) correspond à tirer RRB: \[p(X=3) = \frac{2}{12} \times \frac{1}{11}\] Soit : \[ p(X=3) = \frac{1}{66} \]

1. Calculons l'esperance de X: \begin{align*} E(X) &= 1 \times p(X=1) + 2 \times p(X=2) + 3 \times p(X=3) \\ &= 1 \times \frac{5}{6} + 2 \times \frac{5}{33} + 3 \times \frac{1}{66} \\ &= \frac{55}{66} + \frac{20}{66} + \frac{3}{66} \\ \end{align*} Soit: \[ E(X)= \frac{78}{66}\]
2. Calculons la variance de $X$: \begin{align*} E(X^2) &= 1^2 \times p(X=1) + 2^2 \times p(X=2) + 3^2 \times p(X=3) \\ &= 1 \times \frac{5}{6} + 4 \times \frac{5}{33} + 9 \times \frac{1}{66} \\ &= \frac{55}{66} + \frac{40}{66} + \frac{9}{66} \\ \end{align*} Soit : \[ E(X^2) = \frac{52}{33} \]
  \begin{align*} V(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\ &= \frac{52}{33} - \left(\frac{13}{11}\right)^2 \\ &= \frac{52}{33} - \frac{169}{121} \\ &= \frac{52 \times 11 - 169 \times 3}{363} \\ \end{align*} Ce qui implique : \[ V(X) = \frac{65}{363} \]