Univers de l'expérience aléatoire

L'expérience consiste à effectuer $3$ tirages successifs avec remise parmi un jeu de $52$ cartes. L'univers $\Omega$ est donc l'ensemble des triplets (ou 3-uplets) possibles formés par ces cartes.

Calcul des probabilités

Lors d'un seul tirage, la probabilité de tirer un pique (succès) est $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$. La probabilité de ne pas tirer de pique (échec) est donc $1 - p = \frac{3}{4}$.

• $p(X=0)$ : L'élève ne tire aucune carte pique (3 échecs de suite). \[ p(X=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} \]


• $p(X=1)$ : L'élève tire exactement une carte pique. Celle-ci peut apparaître au 1er, 2ème ou 3ème tirage ($3$ positions possibles). \[ p(X=1) = 3 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{27}{64} \]


• $p(X=2)$ : L'élève tire exactement deux cartes pique ($3$ positions possibles pour la carte qui n'est pas un pique). \[ p(X=2) = 3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64} \]


• $p(X=3)$ : L'élève tire trois cartes pique (3 succès de suite). \[ p(X=3) = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} \]

Vérification : $\frac{27}{64} + \frac{27}{64} + \frac{9}{64} + \frac{1}{64} = \frac{64}{64} = 1$.

Loi de probabilité de $X$

Oui, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

Justification : L'expérience consiste en la répétition de $3$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (car les tirages se font avec remise). Pour chaque épreuve, le succès est défini par "la carte tirée est un pique".

Les paramètres de cette loi sont :

• Le nombre de répétitions : $n = 3$
• La probabilité du succès : $p = \frac{1}{4}$

On note : $X \sim \mathcal{B}\left(3 ; \frac{1}{4}\right)$.

Espérance et variance

En appliquant directement les formules du cours pour une loi binomiale :

L'espérance (le nombre moyen de piques obtenus) :

La variance :