Exercice P38 : Énoncé & Corrigé Détaillé - Bac & Lycée

Exercice P38

Exercice Publié par admin le 15 novembre 2025

Bac Sciences Mathématiques & Lycée Probabilités Énoncé avec corrigé détaillé

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

Énoncé de l'exercice :

Une usine dispose de deux machines $~A~$ et $~B~$ pour fabriquer des filtres de Gasoil.

$\frac{1}{3}~$ de la production est assuré par $~A$
$\frac{2}{3}$ restants étant assurés par $~B$

Une étude a mis en évidence que:

$12\%~$ des pièces produites par la machine $~A~$ sont défectueuses
$9\%~$ des pièces produites par la machine $~B~$ sont défectueuses.

On définit les évènements suivants:

$A~$ = "la pièce prélevée provient de la machine $~A$"
$B~$ = "la pièce prélevée provient de la machine $~B$"
$D~$ = "la pièce prélevée est défectueuse "

Déterminer $~p(A),~ p(B),~p(D)~p(A\cap D),~\text{ et }~p(B\cap D)$.
Tracer l'arbre des probabilités.
On prélève une pièce et on s'en rend compte qu'elle est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $~A$.
On effectue un tirage, à leurs sortie de l'usine, sans remise, $~n~$ pièces l'une après l'autre.les prélèvements successifs sont supposés indépendants les uns des autres. Soit $~X~$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuse prélevées.
1. Justifier que $~X~$ est une loi binomiale? quelles sont ses paramètres.?
2. calculer $~p(X=k)$
3. calculer l'espérance $~E(X)~$ et la variance $~Var(X)~$ en fonction de $~n$.

Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet

Détermination des probabilités de base

D'après les données de l'énoncé sur la répartition de la production :
\[ p(A) = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad p(B) = \frac{2}{3} \]
En traduisant les pourcentages de pièces défectueuses en probabilités conditionnelles :
\[ p_A(D) = 0,12 \quad \text{et} \quad p_B(D) = 0,09 \]
On calcule les probabilités des intersections par la formule $p(E \cap F) = p(E) \times p_E(F)$ :
\[ p(A \cap D) = p(A) \times p_A(D) = \frac{1}{3} \times 0,12 = 0,04 \] \[ p(B \cap D) = p(B) \times p_B(D) = \frac{2}{3} \times 0,09 = 0,06 \]
Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
\[ p(D) = p(A \cap D) + p(B \cap D) = 0,04 + 0,06 = 0,10 \]

Arbre pondéré des probabilités

On complète l'arbre en déduisant les probabilités des évènements contraires sur les branches secondaires ($p_A(\overline{D}) = 1 - 0,12 = 0,88$ et $p_B(\overline{D}) = 1 - 0,09 = 0,91$) :

Probabilité de provenance de la machine A

On cherche la probabilité que la pièce provienne de la machine $A$ sachant qu'elle est défectueuse, soit $p_D(A)$ :
\[ p_D(A) = \frac{p(A \cap D)}{p(D)} \] \[ p_D(A) = \frac{0,04}{0,10} = 0,4 = \frac{2}{5} \]

Étude de la variable aléatoire $X$

Remarque : Bien que le tirage soit "sans remise", l'énoncé précise que les prélèvements successifs sont supposés indépendants. Cela signifie que la production totale est suffisamment grande pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
1. 1. Justification et paramètres de la loi binomiale :
    
    L'expérience consiste à répéter $n$ fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli. Pour chaque épreuve, on s'intéresse au "succès", défini par l'évènement $D$ : "la pièce prélevée est défectueuse".
    
    La probabilité d'un succès est $p = p(D) = 0,10$. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès (pièces défectueuses) suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,10$, notée $\mathcal{B}(n ; 0,10)$.
  2. Calcul de $p(X=k)$ :
    
    Pour tout entier $k$ tel que $0 \leq k \leq n$, la probabilité d'obtenir exactement $k$ pièces défectueuses est donnée par la formule du cours :
    \[ p(X=k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k} \] \[ p(X=k) = C_n^k \times (0,10)^k \times (0,90)^{n-k} \]
  3. Espérance et variance en fonction de $n$ :
    
    Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, on a :
    
    L'espérance :
    \[ E(X) = n \times p = 0,10n \]
    La variance :
    \[ Var(X) = n \times p \times (1-p) = n \times 0,10 \times 0,90 = 0,09n \]

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