Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
On jette deux dés simultanément et on considère les deux évènement suivants.
$A$ = "la sommes des issues des deux dé est 6".
B="l'un des deux dés affiche le nombre 2"
L'expérience aléatoire consiste à jeter deux dés simultanément. L'univers $\Omega$ est l'ensemble des couples $(x,y)$ avec $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Le nombre de cas possibles est $\text{Card}(\Omega) = 36$.
L'évènement $A$ correspond aux couples dont la somme fait 6 :
\[ A = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\} \]L'évènement $B$ correspond aux couples contenant au moins un 2 :
\[ B = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)\} \]L'évènement $A \cap B$ correspond aux issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$ :
\[ A \cap B = \{(2, 4), (4, 2)\} \]Sachant que l'évènement $A$ est réalisé, les deux dés affichent obligatoirement l'un des éléments de $A$, à savoir :
\[ \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\} \]Parmi ces $5$ éléments possibles, il y en a exactement $2$ qui appartiennent à $B$ (ceux qui contiennent le chiffre $2$).
On en déduit directement la probabilité :
\[ P(B|A) = \frac{2}{5} \]En situation d'équiprobabilité :
\[ p(A) = \frac{5}{36} \qquad ;\qquad p(B) = \frac{11}{36}\qquad ;\qquad p(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]Calculons le quotient demandé :
\[ \frac{p(A \cap B)}{p(A)} = \frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{2}{36} \times \frac{36}{5} = \frac{2}{5} \]On constate bien que $\frac{p(A \cap B)}{p(A)} = P(B|A)$.