Combien existe de chemin sans cycle pour se rendre de A vers D.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
On donnes quatres localités $~A,B,C~$ et $~D~$ avec les différents chemins les reliants.
Combien existe de chemin sans cycle pour se rendre de A vers D.
Combien existe de chemin sans cycle pour se rendre de A vers D.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Pour dĂ©terminer le nombre total de chemins de $A$ vers $D$ sans cycle (sans repasser par une mĂȘme ville), on recense les itinĂ©raires macroscopiques possibles, puis on applique le principe multiplicatif pour chaque itinĂ©raire, et enfin le principe additif entre eux.
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Analyse du graphe (connexions directes)
- Entre $A$ et $B$ : $4$ routes
- Entre $A$ et $C$ : $3$ routes
- Entre $B$ et $C$ : $3$ routes
- Entre $B$ et $D$ : $5$ routes
- Entre $C$ et $D$ : $2$ routes
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Dénombrement par itinéraire
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Trajet direct via B ($A \to B \to D$) :
\[ 4 \times 5 = 20 \text{ chemins} \] -
Trajet direct via C ($A \to C \to D$) :
\[ 3 \times 2 = 6 \text{ chemins} \] -
Trajet en zigzag vers le bas ($A \to B \to C \to D$) :
\[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \text{ chemins} \] -
Trajet en zigzag vers le haut ($A \to C \to B \to D$) :
\[ 3 \times 3 \times 5 = 45 \text{ chemins} \]
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Bilan (Principe additif)
Ces quatre itinéraires étant incompatibles, on additionne le nombre de chemins de chaque sous-cas :
\[ \text{Total} = 20 + 6 + 24 + 45 = 95 \]Il existe donc exactement $95$ chemins différents.