Exercice P20 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Problème classique de l'anniversaire:
une classe contient $~30~$ élèves. On considère l'évènement $~A~$ suivant:
"Il y a au moins deux élèves de cette classe qui ont leur anniversaire le même jour."
Pour ce faire, On convient que l'année comprend 365 jours (On ne prends pas en compte les années bissectiles).

calculer la valeur exacte de $~P(A)~$
Dans cette partie on se propose de donner une valeur approchée acceptable de $~p(A)~$ en utilisant la formule dite de Stirling.
Cette formule stipule que pour des valeurs suffisamment grande de $~n~$ on a: $$~n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}~$$ On posera: $$a_n=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$
1. Calculer: $~~k!~~,~~a_k~~\text{et}~~\left(~\frac{k!}{a_k}~\right)~~$ pour $~(~k=~5~;~10~;~~\text{et}~~12~)$.
  Quelle conclusion tirez-vous?
2. Donner une valeur approchée de $~p(A)~$
Donner une valeur approché de $~P(A)~$

Valeur exacte de $P(A)$

L'univers $\Omega$ correspond à toutes les répartitions possibles des dates d'anniversaire pour les $30$ élèves. On a : $\text{Card}(\Omega) = 365^{30}$.

Il est plus simple de passer par l'événement contraire $\overline{A}$ : "Les $30$ élèves ont tous des dates d'anniversaire distinctes". Cela correspond au nombre d'arrangements de $30$ éléments parmi $365$ :
\[ \text{Card}(\overline{A}) = A_{365}^{30} = \frac{365!}{(365-30)!} = \frac{365!}{335!} \]
La probabilité de l'événement contraire est donc :
\[ P(\overline{A}) = \frac{365!}{335! \times 365^{30}} \]
On en déduit la valeur exacte de $P(A)$ :
\[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{365!}{335! \times 365^{30}} \]

Approximation par la formule de Stirling
1. Calculs pour $k=5$, $10$ et $12$ :
  - Pour $k=5$ : $5! = 120$ ; $a_5 \approx 118,019$ ; $\frac{5!}{a_5} \approx 1,0167$
  - Pour $k=10$ : $10! = 3\,628\,800$ ; $a_{10} \approx 3\,598\,696$ ; $\frac{10!}{a_{10}} \approx 1,0084$
  - Pour $k=12$ : $12! = 479\,001\,600$ ; $a_{12} \approx 475\,687\,486$ ; $\frac{12!}{a_{12}} \approx 1,0070$
  Conclusion : On observe que le rapport $\frac{k!}{a_k}$ se rapproche de $1$ à mesure que $k$ augmente. La suite $(a_n)$ est donc un équivalent asymptotique de $n!$ au voisinage de $+\infty$ (noté $n! \sim a_n$).
  
  Remarque : Cela signifie que l'erreur relative tend vers $0$, même si l'erreur absolue $|n! - a_n|$ tend vers $+\infty$.
2. Valeur approchée de $P(A)$ :
  
  En remplaçant les factorielles par l'approximation de Stirling dans l'expression de $P(\overline{A})$ :
  \[ P(\overline{A}) \approx \frac{\sqrt{2\pi \times 365}\left(\frac{365}{e}\right)^{365}}{\sqrt{2\pi \times 335}\left(\frac{335}{e}\right)^{335} \times 365^{30}} \] \[ P(\overline{A}) \approx \sqrt{\frac{365}{335}} \times \frac{365^{365}}{335^{335}} \times \frac{e^{335}}{e^{365}} \times \frac{1}{365^{30}} \] \[ P(\overline{A}) \approx \sqrt{\frac{365}{335}} \times \left(\frac{365}{335}\right)^{335} \times e^{-30} \]
  D'où l'expression approchée :
  \[ P(A) \approx 1 - \left( \sqrt{\frac{73}{67}} \left(\frac{73}{67}\right)^{335} e^{-30} \right) \]

Application numérique

À l'aide d'une calculatrice, on évalue la probabilité :
\[ P(\overline{A}) \approx 1,0438 \times 2,947 \cdot 10^{12} \times 9,357 \cdot 10^{-14} \approx 0,2878 \] \[ P(A) \approx 1 - 0,2878 = 0,7122 \]
Il y a donc environ $71,2\%$ de chances qu'au moins deux élèves fêtent leur anniversaire le même jour dans une classe de $30$ élèves (Note : la valeur exacte sans Stirling donne environ $70,6\%$, l'approximation est donc très fidèle).

Énoncé de l'exercice :

Valeur exacte de $P(A)$

Approximation par la formule de Stirling

Application numérique

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