Exercice N60 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Examen National 2020, Session de Rattrapage:

Soit $~m~$ un nombre réel non nul. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $~\mathbb{C},~$ les deux équations: $$(E):z^2+2z+1+m^2=0\quad \text{et} \quad (F):z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2)=0$$
1. Résoudre dans $~\mathbb{C}~$ l'équation $~(E)~$
2. 1. Montrer que l'équation $~(F)~$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera .
  2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $~(F)~$
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $~(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On considère les deux points: $~A(-1+im)~$ et $~B(-1-im)~$.
Soient $\Omega$ le milieu du segment $~[AB]~$, $~A'~$ le milieu du segment $~[OB]~$ et $~B'~$ le milieu du segment $~[OA]$.
La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $~(-\frac{\pi}{2})~$ transforme $~A~$ en $~P(p)~$.
La rotation de centre $~A'~$ et d'angle $~(-\frac{\pi}{2})~$ transforme $~B~$ en $~Q(q)$.
La rotation de centre $~B'~$ et d'angle $~(-\frac{\pi}{2})~$ transforme $~O~$ en $~R(r)~$.
1. Montrer que: $~~p=-1+m,\quad q=\frac{1-i}{2}(-1-im)~~$ et $~~r=\bar q$
2. 1. Vérifier que: $~~q-r=-ip$
  2. En déduire que: $~~OP=QR~~$ et que les droites $~~(OP)~~$ et $~~(QR)~~$ sont orthogonales

Examen National Session de Rattrapage 2020:

Soit $m$ un nombre réel et soit les équations suivantes: $$(E):~~ z^2+2z+1+m^2 \qquad \text{et} \qquad (F):~~z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2) $$
1. Résolution de l'équation $(E)$: \begin{align*} z^2+2z+1+m^2&=(z+1)^2+m^2\\ z^2+2z+1+m^2&=(z+1)^2-(im)^2\\ z^2+2z+1+m^2&=(z+1-im)(z+1+im)\\ \end{align*} Les racines de (E) sont: $$z_1=-1+im\qquad \text{et}\qquad z_2=-1-im$$
2. 1. Si $z$ est une solution purement imaginaire alors: $z=-\overline{z}$
    En outre on a: $$\begin{cases} z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2)=0\\\\ \overline{z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2)}=\overline{0} \\ \end{cases}$$ Ce qui implique: $$\begin{cases} z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2)=0\\\\ -z^3+2(1+i)z^2-(1+m^2+4i)z+2i(1+m^2)=0 \\ \end{cases}$$ Soit en additionnant membre à membres les deux équations précédentes: $$4z^2-8iz=0$$ Donc: $$4z(z-2i)=0$$ Soit: $~~z=2i\quad$ (car $0~$ n'est pas une racine de $(E)$ )
  2. Puisque $2i$ est une racine de $(F)$ alors: $$(z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2))=(z-2i)(z^2+\alpha z+\beta)$$ Il est immédiat de voir que: $$-2i(1+m^2)=-2i\beta$$ Ce qui donne: $$\beta=1+m^2$$ En plus on a: $$~~-2i\alpha+\beta=(1+m^2-4i)$$ Ce qui donne: $$~~-2i\alpha=-4i$$ Soit: $$~~\alpha=2$$ On obtient: $$(z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2))=(z-2i)(z^2+2z+1+m^2)$$ Les racines restantes de $~(F)~$ sont celles de $~(E)$.
Soient $~~A(a) ~~\text{ et}~~ B(b)~~$ avec: $$ a=(-1+im)\qquad \textit{ et }\qquad b=(-1-im)$$ $\Omega(w)\quad$ étant le milieu de $~~[AB]\qquad$ et donc:
$$w=\dfrac{a+b}{2}$$ Soit: $$w=-1$$ $A'(a')$ étant le milieu de $~~[OB]~~$ et donc: $$~~a'=\dfrac{0+b}{2}\qquad$$ Soit: $$a'=\dfrac{b}{2}$$ $B'(b')\quad$ étant le milieu de $~~[OA]~~$ et donc: $$b'=\dfrac{0+a}{2}$$ Soit: $$b'=\dfrac{a}{2}$$
1. On a:
  - Calcul de l'affixe de P: \begin{align*} e^{-i\frac{\pi}{2}}(a-w)&=(p-w)\\ -i(a-w)&=p-w\\ p&=-1-i(-1+im+1) \end{align*} Soit: $$p=-1+m$$
  - Calcul de l'affixe de Q: \begin{align*} e^{-i\frac{\pi}{2}}(b-a')&=(q-a')\\ -i(b-b/2)&=(q-b/2)\\ q&=\frac{b}{2}(1-i) \end{align*} Soit: $$q=(-1-im)\left(\dfrac{1-i}{2}\right)$$
  - Calcul de l'affixe de R: \begin{align*} -i(0-b')&=r-b'\\ r&=(1+i)b'\\ r&=(1+i)\frac{a}{2} \end{align*} Soit: $$r=(-1+im)\left(\dfrac{1+i}{2}\right)$$ Et on voit bien que: $$~~r=\bar{q}$$
2. 1. On a: \begin{align*} q-r&=(-1-im)\left(\dfrac{1-i}{2}\right)-(-1+im)\left(\dfrac{1+i}{2}\right)\\ q-r&=-\left(\dfrac{1-i}{2}\right)+\left(\dfrac{1+i}{2}\right)-im\left(\left(\dfrac{1-i}{2}\right)+\left(\dfrac{1+i}{2}\right) \right)\\ q-r&=i-im\\ q-r&=-i(-1+m) \end{align*} Soit: $$q-r=-ip$$
  2. On a: $$QR=|q-r|=|-ip|=|p|=OP$$ On en déduit: $$OP=QR$$ D'un autre côté: $~~\dfrac{q-r}{p}=\dfrac{-ip}{p}=-i~~$ qui est purement imaginaire. Et donc les droites $~(OP)~$ et $~(QR)~$ sont orthogonales.

Énoncé de l'exercice :

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