Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $~~\alpha\neq \beta~~$ deux nombres complexes tels que:
$$|\alpha|=|\beta|=1$$
Montrer que le nombre complexe suivant:
$$\left(\dfrac{z+\alpha\beta~\overline{z}-(\alpha+\beta)}{\alpha-\beta}\right)^2$$
est un réel négatif ou nul
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
$~\alpha\quad$ et $\quad \beta\quad $ étant des complexes unités alors:
$$\bar{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha}\qquad \text{et}\qquad \bar{\beta}=\dfrac{1}{\beta}$$
Posons: $$Z=\dfrac{z+\alpha \beta\bar{z}-(\alpha +\beta)}{\alpha -\beta}$$
Montrons que:
$$Z+\overline{Z}=0$$
En effet: $$\overline{Z}=\dfrac{\bar{z}+\frac{1}{\alpha\beta}z-(\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta})}{\frac{1}{\alpha} -\frac{1}{\beta}}=\dfrac{\alpha \beta\bar{z}+z-(\alpha +\beta)}{\beta-\alpha}=-Z$$
Puisque: $~(~Z+\overline{Z}=0~)~$ alors le complexe $~Z~$ est purement imaginaire ou nul.
On en déduit que $~~Z^2~~$ est négatif ou nul.
On en déduit que $~~Z^2~~$ est négatif ou nul.