- Montrer que si $~\alpha~$ et $~\beta~$ sont dans $~\mathbb{Z}[i]~$ alors $~\alpha + \beta~$ et $~\alpha\beta~$ le sont aussi.
- Trouver les éléments inversibles de $\mathbb{Z}[i]$, c'est-à -dire les éléments $\alpha \in \mathbb{Z}[i]$ tels qu'il existe $\beta \in \mathbb{Z}[i]$ avec $\alpha\beta = 1$.
- VĂ©rifier que quel que soit $\omega \in \mathbb{C}$ il existe $\alpha \in \mathbb{Z}[i]$ tel que $|\omega - \alpha| < 1$.
- Montrer qu'il existe sur $\mathbb{Z}[i]$ une division euclidienne, c'est-à -dire que,quels que soient $\alpha$ et $~\beta$ dans $\mathbb{Z}[i]~$ il existe un unique couple $~(q,r)~$ dans $~\mathbb{Z}[i]~$ vérifiant : $$ \alpha = \beta q + r \qquad \text{avec} \qquad |r| < |\beta|.$$ ( Indication : on pourra considérer le complexe $~\frac{\alpha}{\beta}$ )
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $\mathbb{Z}[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \mathbb{Z} \}$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Soient:
$$\alpha=a+ib \qquad \text{et}\qquad \beta=c+id$$
On a:
\begin{cases}
\alpha +\beta &=(a+b)+i(c+d) \\\\ \alpha \beta &=(ac-bd)+i(ad+bc)
\end{cases}
Et donc:
$\Bbb Z[i]$ est stable pour l'addition et la multiplication
- Soit $~~\alpha=a+ib~~$ un élément inversible de $\mathbb Z$ $[i]~$ et $~\beta=c+id~~$ son inverse.
Par la suite: $$\alpha \beta=1\Rightarrow |\alpha\beta|^2=|\alpha|^2 |\beta|^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1$$ On obtient: $$(a^2+b^2=1)\qquad \text{et}\qquad (c^2+d^2=1)$$ Ce qui implique: $$(a,b)=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$$ Donc les éléments inversibles de $~\mathbb Z[i]~$ sont: $$~~ 1,~ -1,~i,~-i$$ -
On pose:
$~~w=w_1+iw_2\in\mathbb C~~$ et $~~\alpha=\alpha_1 +i\alpha_2\in \mathbb{Z}[i]$
Soit $~\alpha_1~$ (resp $~\alpha_2~$) l'entier le plus proche $~w_1~$ (resp. de $w_2$ )
On a donc: \begin{cases} |w_1-\alpha_1|\leq\dfrac{1}{2}\\\\ |w_2 - \alpha_2|\leq\dfrac{1}{2} \\ \end{cases} Dans ce cas on aura: $$~~|w-\alpha|=\sqrt{(w_1-\alpha_1)^2+(w_2-\alpha_2)^2}\leq\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}$$ Par conséquent: $$~~|w-\alpha|<1$$ - Posons:
$$~~w=\dfrac{\alpha}{\beta}$$
Le question précédente nous garantie l'existence de $~~q\in \mathbb{Z}[i]$
tel que: $$|w-q|<1$$ Posons: $$~~r'=w-q=\dfrac{\alpha}{\beta}-q$$ On obtient: $$~~\alpha=\beta q +\beta r'$$ Si on pose: $~r=\beta r'~$ alors on a: $$|r|=|\beta r'|=|\beta||r'|=|\beta||w-q|<|\beta|$$ Donc: $$|r|<|\beta|$$ D'autres part: $$~~r=(\alpha-\beta q)\in \mathbb{Z}[i]~~ (\text{ puisque }~ \alpha,\beta ~~\text{et}~~ q~~ \text{le sont})$$ Donc: $$\alpha=\beta q +r\qquad\text{ avec:}\qquad|r|<|\beta|$$
Question supplémentaire:
Effectuer la division euclidienne dans l'anneau $~Z[i]~$ de $(~\alpha=11+7i)~$ par $~(\beta=3-2i.)~$
Trouver $~(q,r)~$ en suivant la démarche de l'exercice.
Le couple $~(q,r)~$ est-il toujours unique? Justifier votre réponse.