- Pour $z \neq 0$ et $z \neq 1$, donner, à l'aide des points $~A$, $M$ et $M'$, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe $\quad \dfrac{z' - 1}{z - 1}$.
- En déduire que $~A,~M~$ et $~M'~$ sont alignés si et seulement si $~\dfrac{z^2}{z-1}~$ est un réel.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Pour tout nombre complexe $\quad z\quad $ tel que $z \neq 1$, on considère les points $~~A,\quad M~~$ et $~~M'~~$ d'affixes respectives $~~1,~ z~$ et $~z'~ $ où $~z' = 1 + z^2$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- $$\arg\left(\dfrac{z'-1}{z-1}\right))=\arg(z'-1)-\arg(z-1)=\widehat{(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})}$$
- On en déduit que: $A,M et M'$ sont alignés si et seulement si $\arg(\dfrac{z'-1}{z-1})$ est égal à $0$ ou $\pi$.
Dans les deux cas on a: $$\dfrac{z'-1}{z-1}=\dfrac{z^2}{1-z}$$ est un réel.