Exercice N20 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $~(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})~$, unité graphique : 2~cm.
On appelle A le point d'affixe $- 2i$.
A tout point $~M~$ du plan d'affixe $~z~$, on associe le point $M'$ d'affixe $~z'= -2\overline{z} + 2i.$

On considère le point $~B~$ d'affixe $~b = 3-2\text{i}$. Déterminer la forme algébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ associés respectivement aux points $~A~$ et $~B~$. Placer ces points sur le dessin.
Montrer que si $~M~$ appartient à la droite ($~\Delta~$) d'équation $~y = - 2~$ alors $~M'~$ appartient aussi à ($~\Delta~$).
Démontrer que pour tout point $~M~$ d'affixe $~z~, \left|z' + 2i\right| = 2|z + 2i|~$ ; interprétez géométriquement cette égalité.
Pour tout point $~M~$ distinct de $~A,~$ on appelle $~\theta$ un argument de $~z + 2i$.
1. Justifier que $~\theta~$ est une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)$.
2. Démontrer que $~(z+2i)(z'+2\text{i})~$ est un réel négatif ou nul.
3. En déduire un argument de $z'+2i$ en fonction de $\theta$.
4. Que peut-on en déduire pour les demi-droites $~[AM)~$ et $~[AM')~$?
En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point $M'$ associé au point $M$.

Soit $A(-2i)$ et $B(3-2i)$
On a:
- $a'=-2(\overline{-2i})+2i=-2i$
- $b'=-2(\overline{3-2i})+2i=-6-2i$
Soit: $$a'=-2i\qquad \text{et} \qquad b'=-6-2i$$
Soit $~M(z)~$ un point appartenant à la droite $~(\Delta)~~$
Alors, il existe $x\in\mathbb{R}~$, tel que: $~~z=x-2i$
Et donc: $$z'=-2\bar{z}+2i=-2(\overline{x-2i})+2i$$ Soit: $~~z'=-2x-2i~~$ et on a bien $~~z'\in(\Delta)$
On a: $z'=-2\bar{z}+2i~~$
Et donc: $$~~z'+2i = -2\bar{z}+ 4i =-2(\bar{z}-2i) = -2(\overline{z+2i})$$ En passant au modules et tenant compte du fait que le module d'un complexe et son conjugué sont égaux on obtient: $~~|z'+2i|=2|z+2i|$.
Cette dernière égalité signifie:
$$d(A,M(z'))=2d(A,M(z))$$ Ce qui se traduit géométriquement par:
$$f(\mathcal{C}(A,r))\subset {\mathcal C}(A,2r)$$
Soit $\theta$ un argument de $z+2i$.

Il est clair que $~z+2i~$ représente l'affixe de $~\overrightarrow{AM}~$ et donc $~\theta~$ représente une mesure de l'angle $~(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})$
On a: $$z'+2i=-2\bar{z}+4i=-2(\bar{z}-2i)$$ On en déduit: $$(z'+2i)(z+2i)=-2(\bar{z}-2i)(z+2i)=-2|z+2i|^2$$ On voit bien que: $(z'+2i)(z+2i)$ est un réel négatif ou nul.
On a: $\arg((z'+2i)(z+2i))=\pi ~~ [2\pi]$
Et donc: $~~arg(z'+2i)+\arg(z+2i)=\pi [2\pi]$
On en déduit: $~~\arg(z'+2i)=\pi - \arg(z+2i)$
Soit: $arg(z'+2i)=\pi - \theta$
Les demi droites $~[AM)~$ et $~[AM')~$ sont symétriques par rapport à la droite verticale passant par $~A~$.

La représentation géométrique de $M'(z')$ se déduit à partir de $~M(z)~$ comme suit:
- On positionne $~A(-2i)~$ et $~M(z)~$
- On trace la demi droite [AM') symétrique de [AM) par rapport à la vertical passant par $~A~$
- On positionne $~M'~$ sur la demi droite $~[AM')~$ grâce à la relation, $~AM'=2AM~$ Question 3.) ci- dessus.

Énoncé de l'exercice :

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