Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Limites et Continuité
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $$f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$$ Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que : \[ f(c) = \frac{1 - c}{1 + c} \]
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit la fonction $f$ définie par :
\[
\begin{align*}
f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\
&x \longmapsto f(x)\\
\end{align*}
\]
On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que $f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$.
Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = \frac{1 - c}{1 + c}$.
Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = \frac{1 - c}{1 + c}$.
DĂ©monstration
On considÚre la fonction auxiliaire $g$ définie sur $[0, 1]$ par : \[ g(x) = f(x) - \frac{1 - x}{1 + x} \]- Continuité : $f$ est continue sur $[0, 1]$ par hypothÚse. La fonction $x \mapsto \frac{1 - x}{1 + x}$ est continue sur $[0, 1]$ car son dénominateur ne s'annule pas. Par somme, $g$ est continue sur $[0, 1]$.
- Valeurs aux bornes :
- $g(0) = f(0) - \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$.
- $g(1) = f(1) - \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} > 0$.
- Conclusion : La fonction $g$ est continue et change de signe ($g(0) \cdot g(1) < 0$). D'aprÚs le ThéorÚme des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins un réel $c \in ]0, 1[$ tel que $g(c) = 0$, soit $f(c) = \frac{1 - c}{1 + c}$.
Explication graphique
Géométriquement, cela signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ doit croiser la courbe de la fonction $h(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
La courbe rouge part de $A(0, 1/2)$ (sous la courbe bleue) et finit à $B(1, 1/2)$ (au-dessus de la courbe bleue). Le croisement est inévitable.