1. Parité de la fonction $f$
Le domaine de définition de $f$ est $D_f = [-1, 0[ \cup ]0, 1]$, ce qui est un ensemble symétrique par rapport à 0.
Soit $x \in D_f$. On a :
\[ f(-x) = \frac{\ln(1+|-x|)}{-x} = \frac{\ln(1+|x|)}{-x} = - \frac{\ln(1+|x|)}{x} = -f(x) \]
Conclusion : La fonction $f$ est impaire sur son domaine de définition.
2. Limite de $f$ à droite en 0
Pour: $~x > 0$, on a $~|x| = x$. La fonction s'écrit alors :
\[ f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \]
D'après les limites usuelles du logarithme :
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]
Conclusion : $~\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$.
3. Limite de $f$ à gauche en 0
Puisque la fonction $f$ est impaire, nous pouvons en déduire la limite à gauche à partir de la limite à droite :
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(-x) = \lim_{x \to 0^+} -f(x) = -1 \]
Conclusion : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$.
4. Prolongement par continuité en 0
Pour que $f$ admette un prolongement par continuité en 0, il faut que les limites à gauche et à droite en ce point soient égales et finies.
Ici, nous avons :
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \]
Les limites à gauche et à droite sont distinctes ($1 \neq -1$).
Conclusion : La fonction $f$ n'admet pas de prolongement par continuité en 0. On dit qu'elle présente une discontinuité de première espèce (un saut).