Exercice LC17 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves)

Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \mathbb{Z}$. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & \text{si } x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \\ \\ 0 & \text{si } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]

Étude de la continuité des éléments de $\mathbb{Q}$ :
Soit $a \in \mathbb{Q}$. En utilisant la densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, montrer que $f$ est discontinue en $a$.
Soit $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
On considère un intervalle ouvert borné $I$ contenant $x_0$. Montrer que pour tout $M \in \mathbb{N}^*$, l'ensemble : \[ A_M = \left\{ \frac{p}{q} \in I \cap \mathbb{Q} \mid q \leq M \right\} \] est un ensemble fini.
Étude de la continuité des éléments de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ :
On donne une définition équivalente de la continuité en un point $x_0$ :

Définition :
$f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
$\forall \epsilon > 0$, il existe un intervalle ouvert borné centré en $x_0$ noté $I_{x_0}$ tel que : \[ x \in I_{x_0} \implies f(x) \in ]f(x_0) - \epsilon, f(x_0) + \epsilon[ \]
En remarquant que $f(x_0) = 0$ et en utilisant les résultats précédents, prouver que $f$ est continue en $x_0$.

Synthèse :

La fonction de Thomae fournit un exemple de fonction continue pour tout irrationnel et discontinue sur un sous-ensemble dénombrable et dense dans $\mathbb{R}$.

La fonction de Thomae (dite aussi pop-corn)

Discontinuité sur les rationnels :
Soit $a \in \mathbb{Q}$, alors $f(a) > 0$.
Tout intervalle ouvert centré en $a$, aussi petit soit-il, contient des irrationnels (densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).
Pour ces irrationnels $x$, $f(x) = 0$. L'écart $|f(x) - f(a)| = f(a)$ ne peut donc pas être rendu arbitrairement petit. $f$ est discontinue sur $\mathbb{Q}$.
Propriété des dénominateurs :
Dans un intervalle borné $I$, pour un $q$ donné, il n'y a qu'un nombre fini de multiples $p$ tels que $p/q \in I$.
L'ensemble $A_M = \{ \frac{p}{q} \in I \cap \mathbb{Q} \mid q \leq M \}$ est donc fini.
Continuité sur les irrationnels :
Soit $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $\epsilon > 0$. Fixons $M$ tel que $1/M < \epsilon$.
L'ensemble $A_M$ est fini et ne contient pas $x_0$.
Il existe donc un intervalle $I_{x_0}$ tel que $I_{x_0} \cap A_M = \emptyset$.
Pour tout $x \in I_{x_0}$ :
- Si $x \notin \mathbb{Q}$, $f(x) = 0$.
- Si $x \in \mathbb{Q}$, alors $x = p/q$ avec $q > M$ (car $x \notin A_M$), donc $f(x) = 1/q < 1/M < \epsilon$.
On a bien $\forall x \in I_{x_0}, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. $f$ est continue en $x_0$.

Énoncé de l'exercice :

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves)

Définition :

Synthèse :

La fonction de Thomae (dite aussi pop-corn)

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