- Montrer que l'Ă©quation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Limites et Continuité
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\mathbb{R}^+$ telle que :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} < 1 \]
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Cas initial :
Si $f(0)=0$, le résultat est immédiat.
Supposons $f(0) > 0$.
Soit $h(x) = \frac{f(x)}{x}$ continue sur $]0, +\infty[$. - Par hypothĂšse:
$~\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \ell < 1$.
Pour $\epsilon = \frac{1-\ell}{2}$, il existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tel que : \[ x \geq n_1 \implies h(x) < \frac{1+\ell}{2} < 1 \] De mĂȘme, comme $\lim_{x \to 0^+1} h(x) = +\infty$, il existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tel que : \[ x \leq \frac{1}{n_2} \implies h(x) > 1 \] - Conclusion par le TVI :
En prenant $n$ assez grand ($n \geq \max(n_1, n_2)$), on travaille sur $I = [\frac{1}{n}, n]$.
On a $h(n) < 1$ et $h(\frac{1}{n}) > 1$.
Par continuité de $h$ sur $I$, il existe $c \in I$ tel que $h(c)=1$, soit $f(c)=c$.