- Calculer en utilisant les formules de moivre: $~~f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$
- En déduire: $~~g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$
- Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$
- En déduire: $\sum\limits_{k=1}^n{\frac{k}{2^k}}$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
DĂ©rivation et Ă©tude de fonctions
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Exercice D6 : Sommes de Moivre et DĂ©rivation
1. DĂ©tail du calcul de $f(x)$
On pose: $~~S_n = \sum_{k=1}^n e^{ikx}$.
C'est une somme géométrique.
En factorisant par l'angle moitié :
\[ S_n = e^{ix} \frac{e^{i\frac{nx}{2}}(-2i \sin\frac{nx}{2})}{e^{i\frac{x}{2}}(-2i \sin\frac{x}{2})} = e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \frac{\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \]En isolant la partie imaginaire via la formule de Moivre :
\[ f(x) = \frac{\sin(\frac{nx}{2})\sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \]2. Calcul de $g(x)$ par dérivation
On utilise la relation $g(x) = f'(x)$ car $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
3. Somme des $kx^{k-1}$
il est bien connu que tout $x\neq 1$: \[\sum\limits_{k=0}^n{x^k}=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}\]
Par dérivation on par rapport à la variable $x$ :
\[ \sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]4. DĂ©duction pour $x = 1/2$
En Ă©valuant pour $x = 1/2$ :
\[ \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 2 - \frac{n+2}{2^n} \]