Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align*} \]Calculons la limite de la fonction en 0 :
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{1 + |x|} = 0 \]Comme $f(0) = 0$, on a $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
La fonction $f$ est donc continue en 0.
Étudions le taux d'accroissement en 0 :
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1 + |x|}}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + |x|} = 1 \end{align*} \]La limite est finie, donc $f$ est dérivable en 0 et $f'(0) = 1$.