Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Groupes et algèbres
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Caractériser les groupes finis d'ordre premier.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Caractérisation des groupes finis d'ordre premier
Un groupe $G$ fini dont l'ordre est un nombre premier $p$ possède une structure extrêmement rigide : il est nécessairement cyclique (et donc commutatif), et tout élément distinct de l'élément neutre en est un générateur.
Démonstration :
- Soit $G$ un groupe d'ordre $p$, où $p$ est un nombre premier.
- Puisque $p \ge 2$, le groupe $G$ contient au moins un élément $x$ distinct de l'élément neutre $e$.
- Considérons le sous-groupe $\langle x \rangle$ engendré par cet élément. D'après le théorème de Lagrange, l'ordre du sous-groupe divise l'ordre du groupe : \[|\langle x \rangle| \text{ divise } p\]
-
Or, $p$ étant premier, ses seuls diviseurs positifs dans $\mathbb{N}^*$ sont $1$ et $p$.
Comme $x \neq e$, l'ordre de $\langle x \rangle$ est strictement supérieur à $1$. On en déduit nécessairement que : \[|\langle x \rangle| = p\] - Le sous-groupe $\langle x \rangle$ est inclus dans $G$ et possède le même cardinal fini. On conclut donc que : \[\langle x \rangle = G\]
Conclusion : Tout groupe d'ordre premier $p$ est cyclique, engendré par n'importe lequel de ses éléments non neutres. Il est isomorphe au groupe additif $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +)$.