$\langle \varphi(A) \rangle = \varphi(\langle A \rangle)$

• Inclusion $\langle \varphi(A) \rangle \subset \varphi(\langle A \rangle)$ :

  On a trivialement l'inclusion $A \subset \langle A \rangle$. En appliquant le morphisme $\varphi$, on obtient : \[\varphi(A) \subset \varphi(\langle A \rangle)\] L'image d'un sous-groupe par un morphisme de groupes étant un sous-groupe, $\varphi(\langle A \rangle)$ est un sous-groupe de $G'$.
  Puisque $\varphi(\langle A \rangle)$ est un sous-groupe contenant la partie $\varphi(A)$, il contient nécessairement le plus petit sous-groupe contenant cette partie, c'est-à-dire le sous-groupe engendré. D'où : \[\langle \varphi(A) \rangle \subset \varphi(\langle A \rangle)\]



• Inclusion $\varphi(\langle A \rangle) \subset \langle \varphi(A) \rangle$ :

  Par définition, $\langle \varphi(A) \rangle$ est un sous-groupe de $G'$. L'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme étant un sous-groupe, l'ensemble $\varphi^{-1}(\langle \varphi(A) \rangle)$ est un sous-groupe de $G$.
  De plus, l'inclusion évidente $\varphi(A) \subset \langle \varphi(A) \rangle$ implique par définition de l'image réciproque que : \[A \subset \varphi^{-1}(\langle \varphi(A) \rangle)\] Ainsi, $\varphi^{-1}(\langle \varphi(A) \rangle)$ est un sous-groupe de $G$ qui contient la partie $A$. Il contient donc le sous-groupe engendré par $A$ : \[\langle A \rangle \subset \varphi^{-1}(\langle \varphi(A) \rangle)\] En appliquant $\varphi$ aux deux membres de cette inclusion, on obtient : \[\varphi(\langle A \rangle) \subset \langle \varphi(A) \rangle\]