Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Groupes et algèbres
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $G$ un groupe tel que:
\[\forall x\in G: x^2=e\]
Montrer que G est commutatif.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soient $x, y \in G$.
Par hypothèse, tout élément de $G$ est son propre symétrique. En effet, pour tout $g \in G$, on a $g^2 = e$, ce qui implique $g^{-1} = g$.
Appliquons cette propriété à l'élément $xy \in G$ : \[(xy)^{-1} = xy\] Or, dans tout groupe, l'inverse d'un produit vérifie : \[(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}\] Puisque $x^{-1} = x$ et $y^{-1} = y$, l'équation devient : \[(xy)^{-1} = yx\] En identifiant les deux expressions de $(xy)^{-1}$, on obtient immédiatement : \[xy = yx\]
Conclusion : Le groupe $G$ est commutatif.