Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Groupes et algèbres
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $G$ un groupe. On appelle centre de $G$ l'ensemble:
\[Z(G) = \{g \in G | \forall h \in G, gh = hg\}\]
Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Élément neutre : Soit $e$ l'élément neutre de $G$.
On a trivialement $\forall h \in G, eh = he = h$. Donc $e \in Z(G)$, ce qui assure que $Z(G) \neq \emptyset$. -
Stabilité par la loi et passage à l'inverse : Soient $x, y \in Z(G)$. Montrons que $xy^{-1} \in Z(G)$.
Soit $h \in G$. Puisque $y \in Z(G)$, on a $yh = hy$. En multipliant à gauche et à droite par $y^{-1}$, il vient : \[y^{-1}h = hy^{-1}\] On a alors : \[(xy^{-1})h = x(y^{-1}h) = x(hy^{-1}) = (xh)y^{-1} = (hx)y^{-1} = h(xy^{-1})\] Ainsi, $xy^{-1}$ commute avec tout élément $h \in G$, d'où $xy^{-1} \in Z(G)$.
Conclusion : $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$.