Exercice A66 : Énoncé & Corrigé Détaillé

- Soit $k \in \mathbb{N}^\ast$. On a $k \geq 1$, donc $k^2 < k^2+k+1$.
- De plus, en développant $(k+1)^2$, on obtient $k^2+2k+1$. Puisque $k \geq 1$, on a $k < 2k$, d'où $k^2+k+1 < k^2+2k+1 = (k+1)^2$.
- On obtient ainsi l'encadrement strict suivant : \[ k^2 < k^2+k+1 < (k+1)^2 \]
- L'entier $k^2+k+1$ est strictement compris entre deux carrés parfaits consécutifs. Il ne peut donc pas être lui-même un carré parfait.

- Soit $x \in \mathbb{R}$. Développons le membre de droite en regroupant les termes pour utiliser l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ : \[ (x^2-x+1)(x^2+x+1) = ((x^2+1)-x)((x^2+1)+x) \] \[ = (x^2+1)^2 - x^2 \] \[ = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 \] \[ = x^4 + x^2 + 1 \]

- Évaluons le polynôme $P$ en $x+1$ : \[ P(x+1) = (x+1)^2 - (x+1) + 1 \] \[ = x^2 + 2x + 1 - x - 1 + 1 \] \[ = x^2 + x + 1 \]
- On retrouve exactement l'expression de $Q(x)$, d'où : \[ P(x+1) = Q(x) \]

- Exprimons le produit en séparant les facteurs $P(k)$ et $Q(k)$ : \[ \prod_{k=1}^n (P(k)Q(k)) = \left(\prod_{k=1}^n P(k)\right) \times \left(\prod_{k=1}^n Q(k)\right) \]
- Calculons $P(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$. Le premier produit se simplifie donc : \[ \prod_{k=1}^n P(k) = P(1) \times \prod_{k=2}^n P(k) = \prod_{k=2}^n P(k) \]
- Pour le second produit, utilisons la relation $Q(k) = P(k+1)$ établie à la question 3, puis effectuons un changement d'indice : \[ \prod_{k=1}^n Q(k) = \prod_{k=1}^n P(k+1) = \prod_{j=2}^{n+1} P(j) \] En isolant le dernier terme $P(n+1)$, on a : \[ \prod_{j=2}^{n+1} P(j) = \left(\prod_{j=2}^n P(j)\right) \times P(n+1) \]
- Or, d'après la question 3, $P(n+1) = Q(n)$. En rassemblant toutes ces expressions, on obtient : \[ \prod_{k=1}^n (P(k)Q(k)) = \left(\prod_{k=2}^n P(k)\right) \times \left(\prod_{k=2}^n P(k)\right) \times Q(n) \] On en déduit: \[ \prod_{k=1}^n (P(k)Q(k))= Q(n)\left(\prod_{k=2}^n P(k)\right)^2 \]

- Pour que ce produit soit un carré parfait, il est nécessaire que le facteur $Q(n) = n^2+n+1$ soit lui-même un carré parfait.
- Or, d'après la question 1, pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, $n^2+n+1$ ne peut être un carré parfait.
- En conclusion, le produit $\prod_{k=1}^n (k^4+k^2+1)$ n'est pas un carré parfait.