- En utilisant Bezout démontrer qu'il existe $(r,s)\in\mathbb{Z}^2$ tels que: $$\begin{cases} ar+bs&=1\\ \sqrt 2&=2br+sa \\ \end{cases}$$ et qu'alors $~~\sqrt 2~~$ appartient $\mathbb{N}$
- Déduire de ce qui précède que $~~\sqrt 2~~$ n'est pas un rationnel.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $~~\sqrt 2~~$ n'est pas un rationnel.
Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un couple $~(a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}^*~$ tels que:
$$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\qquad\mbox{et}\qquad a\land b=1$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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- Par hypothèse, $a$ et $b$ sont premiers entre eux ($a \land b = 1$). D'après le théorème de Bézout, il existe un couple d'entiers relatifs $(r,s) \in \mathbb{Z}^2$ tel que : \[ ar + bs = 1 \]
- L'égalité $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ nous donne $a = b\sqrt{2}$.
Substituons $a$ par cette expression uniquement dans le premier terme de l'identité de Bézout : \[ \sqrt{2}br + bs = 1 \] - Multiplions ensuite les deux membres de cette équation par $\sqrt{2}$ : \[ \sqrt{2}(\sqrt{2}br + bs) = \sqrt{2} \] \[ 2br + \sqrt{2}bs = \sqrt{2} \]
- Sachant que $\sqrt{2}b = a$, on substitue cette valeur dans le second terme pour obtenir la relation finale : \[ 2br + as = \sqrt{2} \]
- Puisque $a, b, r$ et $s$ sont des entiers, l'expression $2br + as$ appartient à $\mathbb{Z}$. Étant donné que $\sqrt{2} > 0$, on en déduit nécessairement : \[ \sqrt{2} \in \mathbb{N} \]
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- D'après le résultat précédent, si $\sqrt{2}$ était un nombre rationnel, il serait un entier naturel.
- Or, on sait que $1^2 = 1$ et $2^2 = 4$, ce qui donne l'encadrement strict : \[ 1 < 2 < 4 \]
- Par stricte croissance de la fonction racine carrée sur $\mathbb{R}^+$, on obtient : \[ 1 < \sqrt{2} < 2 \]
- Puisqu'il n'existe aucun entier naturel strictement compris entre $1$ et $2$, on aboutit à une contradiction.
- On conclut donc que l'hypothèse de départ est absurde : $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.