- soit $n\in\mathbb{N}^*$.
- Montrer que si $n$ est impair alors: $$\quad n^2=1\mod 8$$
- Montrer que si $n$ est pair alors: $$\quad n^2=0\quad\textbf{ou}\quad 4\mod 8$$
- Soit $a,b,c$ des entiers naturels impairs.
- prouver que: $a^2+b^2+c^2$ n'est pas un carré parfait.
- Montrer que: $2(ab+ac+bc)\equiv 6\mod 8$
- En déduire que $2(ab+ac+bc)$ n'est pas un carré parfait
- Montrer que $(ab+ac+bc)$ n'est pas un carré parfait.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Soit $~~n\in\mathbb N^*$
- Dans $~~\mathbb Z/8\mathbb Z~~$ les nombres impairs appartiennent à l'une des classes suivantes: $~~\overline{1};~\overline{3};~\overline{5}~~\text{ou}~~ \overline{7}$
D'autres part: $$\overline{1}^2=\overline{3}^2=\overline{5}^2=\overline{7}^2=\overline{1}$$ On en déduit que si $~n~$ est impair alors: $$~~n^2=1\mod 8$$ - Les nombres paires appartiennent aux classes: $~~\overline{0};~\overline{2};~\overline{4};~\overline{6}$
Et on a: $$\quad\begin{cases} \overline{0}^2=\overline{4}^2=\overline{0}\\\\ \overline{2}^2=\overline{6}^2=\overline{4}\\ \end{cases}$$ Il en vient que si n est pair alors: $$n^2=0 ~~\text{ou}~~ 4 \mod 8$$
- Dans $~~\mathbb Z/8\mathbb Z~~$ les nombres impairs appartiennent à l'une des classes suivantes: $~~\overline{1};~\overline{3};~\overline{5}~~\text{ou}~~ \overline{7}$
- (a,b,c) étant des entiers impairs alors:
$$a^2+b^2+c^2=1+1+1=3 \mod 8\qquad (1) $$
Supposons que $a^2+b^2+c^2$ est un carré parfait.
Alors puisque $(a^2+b^2+c^2)$ est impair, on doit avoir:<
$$a^2+b^2+c^2=m^2=1\mod 8$$ Contradiction avec $(1)$
Ce qui montre que $~~a^2+b^2+c^2~~$ n'est pas un carré parfait.
- On a: $\quad\begin{cases} (a+b+c)^2=1\mod 8\qquad\text{car:~~ $(a+b+c)$ ~~est impair }\\a^2+b^2+c^2=3\mod 8\\
\end{cases}$
$\Rightarrow 2(ab+ac+bc)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-3\mod 8$
Et Donc: $$2(ab+ac+bc)=6\mod 8\qquad (2)$$ - Supposons que $~~2(ab+ac+bc)~~$ est un carré parfait.
puisque ce dernier nombre est pair, alors on doit avoir:
$~~2(ab+ac+bc)=0,4\mod 8.\quad$ Contradiction avec $~(2)$
- On remarque tout d'abord que $~~(ab+ac+bc)~~$ est impair (somme de trois termes impairs)
Si $(ab+ac+bc)$ était un carré parfait alors, on doit avoir:
$(ab+ac+bc)=1\mod 8 \Rightarrow 2(ab+ac+bc)=2\mod 8\qquad$ contradiction avec (2)
Par la suite:
$(ab+ac+bc)~~$ n'est pas un carré parfait.
- (a,b,c) étant des entiers impairs alors:
$$a^2+b^2+c^2=1+1+1=3 \mod 8\qquad (1) $$
Supposons que $a^2+b^2+c^2$ est un carré parfait.