Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $\;(a,b)\in \mathbb{Z^*}^2\;$. Montrer que:
$$3\mid(a^3-b^3)\Longleftrightarrow 3\mid (a-b)$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
On a:
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)[(a-b)^2+3ab]$
Et donc:
$$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$$ Par la suite:
$$(a^3-b^3)=(a-b)^3\mod 3$$ Par conséquent:
$$(a^3-b^3)=0\mod 3\Longleftrightarrow(a-b)^3=0\mod 3$$ Et puisque 3 est premier alors: $$(a-b)^3=0\mod 3\Longleftrightarrow (a-b)=0\mod 3$$ En conclusion: $$(a^3-b^3)=0\mod 3\Longleftrightarrow (a-b)=0\mod 3$$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)[(a-b)^2+3ab]$
Et donc:
$$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$$ Par la suite:
$$(a^3-b^3)=(a-b)^3\mod 3$$ Par conséquent:
$$(a^3-b^3)=0\mod 3\Longleftrightarrow(a-b)^3=0\mod 3$$ Et puisque 3 est premier alors: $$(a-b)^3=0\mod 3\Longleftrightarrow (a-b)=0\mod 3$$ En conclusion: $$(a^3-b^3)=0\mod 3\Longleftrightarrow (a-b)=0\mod 3$$