- Soit p un nombre premier: $p\geq 5$
- Montrer que: $$p^2=1\mod 3$$
- Montrer que: $$(\exists\; q\in \mathbb{N}^*):\quad p^2-1=4q(q+1)\quad$$ et en déduire que: $$\quad p^2=1\mod 8$$
- Montrer que: $\quad p^2=1\mod 24$
- Soit $~a\in\mathbb{N}~$ tel que: $~~a\land 24=1$
- Montrer que: $$\quad a^2\equiv 1 \mod 24$$
- Existe-t-il des entiers naturels: $~ a_1,a_2,\cdots,a_{23}\quad$ tels que: $$\begin{cases} a_k\land 24=1\quad \text{pour:}\quad k=1,2,\cdots, 23\\ \\ \sum\limits_{k=1}^{23}{a_k^2}=23997 \end{cases}$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- $p\geq 5$ et premier, alors il y a deux cas:
$p=3k+1\Rightarrow p^2-1=(p-1)(p+1)=3k(3k+2)$
$p=3k+2\Rightarrow p^2-1=3(3k+1)(k+1)$
Dans les deux cas on a: $$p^2-1=0\mod 5$$ - On a: $$(p^2-1)=(p-1)(p+1)$$ Or $~p~$ est un nombre premier impair: $$\quad p-1=2q$$ ce qui implique: $$p^2-1=2q(2q+2)$$ Et donc:$$p^2-1=4q(q+1)$$ Et puisque $q(q+1)$ est pair (produit de deux nombres consécutif) alors: $$p^2-1=0\mod 8$$
- On a: $$\begin{cases} 8|(p^2-1)\\3|(p^2-1) \\8\land 3=1 \end{cases}\Longrightarrow (8\times 3)|(p^2-1)$$ On en déduit que:$~~24~~$ divise $~~(p^2-1)$.
- $p\geq 5$ et premier, alors il y a deux cas:
- Soit $a\in \mathbb N$ tel que: $~~a\land 6=1$
Et donc $a$ s'écrit sous l'une des formes:
$a=6k+1;~~\text{ou}~~6k+5$\qquad (prouvez-le!)
- On distingue les cas:
Cas: $~~a=6k+1$
$a=6k+5\Longrightarrow a^2-1=6k(6k+2)=12k(3k+1)$
On montre aisément que:
$k(3k+1)~~$ est pair car $~~((3k+1)-k=2k+1)~~$ est impair.
$\Rightarrow a^2-1=0\mod 24$
Cas: $~~a=6k+5$
$a=6k+5\Longrightarrow a^2-1=12(3k+2)(k+1)$
$(3k+2)(k+1)~~$ est pair car:$~~(3k+2)-(k+1)=(2k+1)~~$ est impair.
$\Rightarrow a^2-1=0\mod 24$
En résumé on trouve que dans les deux cas: $$a^2=1\mod 24$$ - On a:
$23997=24000-3\Longrightarrow 23997=-3=21\mod 24$
D'autres parts:
$a_k\land 6=1\Longrightarrow a_k^2=1\mod 24$
On en déduit: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k^2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{1}$$ Et Donc: $$\sum\limits_{k=1}^{23}{a_k^2}=23\mod 24$$ Et On voit bien que: $$(\sum\limits_{k=1}^{23}{a_k^2}=23\mod 24)~~\text{ne peut-être égale à}~~ (23997=20\mod 24)$$ Conclusion:
Il n'existe pas de telles suite: $~~(a_k)$
- On distingue les cas: