- Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$
- Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$
- Montrer que si $~(x,y),~$ est une solution de l'équation $(E)$ alors: $$(2x^3+3)^2-(2y^2)^2=5$$
- Résoudre l'équation $(E)$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Soit à résoudre l'équation:
$$x^2-y^2=5\qquad (1)$$
Posons: $a=|x| ~~\text{et}~~ b=|y|$
Il est clair que a et b sont positifs ou nuls.
En termes des nouvelles variables l'équation (1) s'écrit:
$$a^2-b^2=5$$ $\Longleftrightarrow (a-b)(a+b)=5$
Et puisque $(a-b)\leq (a+b)~~$ alors:
$$\begin{cases}a-b=1\\a+b=5\end{cases}$$ $$\Rightarrow (a,b)=(3,2)$$ L'ensemble de solutions en $~(x,y)~$ est:
$$ S=\{(3,2);(3,-2);(-3,2);(-3,-2)\} $$ - On considère l'équation:
$$x^6+3x^3+1=y^4\quad (2)$$- En posant $s=x^3$ on obtient:
$$s^2+3s+1=y^4$$ En multipliant par 4: $$(4s^2+12s+4)=(2y^2)^2$$ En retravaillant encore notre equation on obtient: $$(2s+3)^2=(2y^2)^2+5$$ Et finalement en faisant $~~s=x^3$: $$(2x^3+3)^2-(2y^2)^2=5\qquad (3) $$ - En utilisant la question 1) on obtient:
$|2x^3+3|=3 \qquad 2y^2=2$
Cherchons les valeurs de x:
$2x^3+3=-3\Longrightarrow x^3=-3\quad $ impossible!
$2x^3+3=3\Longrightarrow x=0$
Conclusion:
L'ensemble de solutions de l'équation (2) est:
$$S=\{(0,1),(0,-1)\}$$
- En posant $s=x^3$ on obtient: